Calcule a derivada direcional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
. Pra isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
na direção de um vetor
. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função
.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Temos o vetor direção
. Esse vetor já está normalizado, ou seja, tem módulo 1, o que é ótimo pra gente.
Passo 7
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção:
Passo 8
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.