Calcule a derivada direcional.
f(x, y)=x^2+x y ext em (1,2) ext na direção de u=imath+jmathraiz2çã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente tem a função f(x, y) = x^2 + xy e precisa encontrar a derivada direcional no ponto (1, 2) na direção do vetor u = imath + jmathraiz2 . Pra isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função f na direção de um vetor u . Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função f .

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente de f(x, y) = x^2 + xy . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y .
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x + y
partial fpartial y = x
Então, o gradiente fica:
nabla f = (2x + y, , x)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1, 2) :
nabla f(1, 2) = (2 cdot 1 + 2, , 1) = (4, 1)

Passo 6

Temos o vetor direção u = imath + jmathraiz2 . Esse vetor já está normalizado, ou seja, tem módulo 1, o que é ótimo pra gente.

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção:
Du f = nabla f(1, 2) cdot u

Passo 8

Calculando o produto escalar:
Du f = (4, 1) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 4 cdot 1raiz2 + 1 cdot 1raiz2 = 5raiz2

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1, 2) na direção de u é 5raiz2 .

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