Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
l f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y ; fx x x, fx y x f(x, y)=sen(2 x+5 y) ; fy x y f(x, y, z)=e^y z^2 ; fx y z

Passo 1

O enunciado pede derivadas parciais de ordem superior para três funções distintas:
  1. f(x,y)=x^4y^2-x^3y, com fxxx e fxyx.
  2. f(x,y)=sin(2x+5y), com fyxy.
  3. f(x,y,z)=e^y z^2, com fxyz.
    Vamos usar a definição de derivada parcial (tratando as demais variáveis como constantes) e o teorema de Clairaut (ordem de diferenciação intercambiável sempre que a função for suficientemente suave).

Passo 2

Para f(x,y)=x^4y^2-x^3y:
  1. Calculamos
fx=partialpartial x(x^4y^2-x^3y) =4x^3y^2-3x^2y
  1. Diferenciamos duas vezes mais em relação a x:
fxx=partialpartial x(4x^3y^2-3x^2y) =12x^2y^2-6xy,
fxxx=partialpartial x(12x^2y^2-6xy) =24x,y^2-6y
  1. Agora fxyx=partialpartial xl(partialpartial yfxr). Primeiro
fxy=partialpartial y(4x^3y^2-3x^2y) =8x^3y-3x^2,
de onde
fxyx=partialpartial x(8x^3y-3x^2) =24x^2y-6x

Passo 3

Para f(x,y)=sin(2x+5y):
1.
fy=partialpartial ysin(2x+5y) =5cos(2x+5y)
fyx=partialpartial x(5cos(2x+5y)) =-10sin(2x+5y)
fyxy=partialpartial y(-10sin(2x+5y)) =-10cdot5cos(2x+5y) =-50cos(2x+5y)

Passo 4

Para f(x,y,z)=e^y z^2:
1.
fx=partialpartial xe^y z^2=0 (não há x no expoente) ãá
fxy=partialpartial y(0)=0,
fxyz=partialpartial z(0)=0

Resposta

Para f(x,y)=x^4y^2-x^3y:
fxxx(x,y)=24x,y^2-6y, fxyx(x,y)=24x^2y-6x
Para f(x,y)=sin(2x+5y):
fyxy(x,y)=-50cos(2x+5y)
Para f(x,y,z)=e^y z^2:
fxyz(x,y,z)=0

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