Calcule o vetor gradiente das funções abaixo, nos pontos indicados:
w(x, y, z)=x y z^2, em (1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de w(x,y,z)=x,y,z^2 no ponto (1,2,3). O gradiente nabla w é o vetor formado pelas derivadas parciais de w em relação a x, y e z.

Passo 2

Calculamos cada derivada parcial usando regra do produto e potência:
partial wpartial x = partialpartial xl(x,y,z^2r) = y,z^2,
partial wpartial y = partialpartial yl(x,y,z^2r) = x,z^2,
partial wpartial z = partialpartial zl(x,y,z^2r) = x,ycdot 2z = 2,x,y,z

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,2,3):
partial wpartial x(1,2,3) = 2cdot3^2 = 18,
partial wpartial y(1,2,3) = 1cdot3^2 = 9,
partial wpartial z(1,2,3) = 2cdot1cdot2cdot3 = 12

Resposta

nabla w(1,2,3) = (18,,9,,12)

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