Calcule a derivada direcional.
em
na direção do ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos calcular sua derivada direcional no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função.
Passo 2
A derivada direcional de uma função
no ponto
na direção de um vetor
é dada por:
Onde
é o gradiente de
e
representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção da direção dada pelo ponto
. Para isso, vamos subtrair as coordenadas do ponto base
:
Passo 4
Agora, vamos transformar esse vetor direção
em um vetor unitário
. Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando:
Então:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional multiplicando o gradiente pelo vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ponto
é igual a 1.