Calcule a derivada direcional.
f(x, y)=x exte^y em (2,0) na direção do ponto (12, 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) = x e^y , e precisamos calcular sua derivada direcional no ponto (2, 0) na direção do ponto (12, 2) . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

A derivada direcional de uma função f no ponto (x, y) na direção de um vetor u é dada por:
Du f = nabla f cdot u
Onde nabla f é o gradiente de f e cdot representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção da direção dada pelo ponto (12, 2) . Para isso, vamos subtrair as coordenadas do ponto base (2, 0) :
v = (12 - 2, 2 - 0) = (-32, 2)

Passo 4

Agora, vamos transformar esse vetor direção v em um vetor unitário u . Para isso, calculamos o comprimento de v :
|v| = raiz(-32)^2 + 2^2 = raiz94 + 4 = raiz254 = 52
Então, o vetor unitário u é:
u = (-3252, 252) = (-35, 45)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o gradiente de f(x, y) = x e^y . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a x e y :
nabla f = (partial fpartial x, partial fpartial y)
Calculando:
partial fpartial x = e^y
partial fpartial y = x e^y
Então:
nabla f = (e^y, x e^y)

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (2, 0) :
nabla f(2, 0) = (e^0, 2 e^0) = (1, 2)

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional multiplicando o gradiente pelo vetor unitário u :
Du f = nabla f cdot u = (1, 2) cdot (-35, 45) = 1 cdot (-35) + 2 cdot (45) = -35 + 85 = 55 = 1

Resposta

A derivada direcional de f(x, y) = x e^y no ponto (2, 0) na direção do ponto (12, 2) é igual a 1.

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