Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito à restrição
Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calculamos os gradientes das funções objetivo e restrição:
Impondo
obtemos o sistema
juntamente com a restrição
Passo 3
Suponha
,
,
. Dividindo as igualdades de Lagrange obtemos
Então
Logo
. Pela restrição segue
portanto
. Há oito pontos
e
Passo 4
Se algum dos valores for zero, diga
. Então
, ou seja
ou
. Isso gera pontos como
e suas permutações, onde
. Como
, estes não são extremos globais.
Passo 5
Comparando os valores de
nos pontos críticos, temos
nos pontos
e
nos pontos em que alguma coordenada é zero. Logo o máximo global é
e o mínimo global é
.
Resposta
O valor máximo de
é
.
O valor mínimo de é
.
O valor mínimo de