Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z)=x y z ; x^2+y^2+z^2=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=xyz
sujeito à restrição
x^2+y^2+z^2=3
Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os gradientes das funções objetivo e restrição:
nabla f=(yz,;xz,;xy), nabla g=(2x,;2y,;2z)
Impondo
nabla f = lambda,nabla g
obtemos o sistema
yz=2lambda x, xz=2lambda y, xy=2lambda z,
juntamente com a restrição
x^2+y^2+z^2=3

Passo 3

Suponha xneq0, yneq0, zneq0. Dividindo as igualdades de Lagrange obtemos
yzx=xzy=xyz=2lambda
Então
yzx=xzyimplies y^2=x^2, yzx=xyzimplies z^2=x^2
Logo |x|=|y|=|z|. Pela restrição segue
3x^2=3implies x^2=1implies |x|=1,
portanto x,y,zinpm1. Há oito pontos (pm1,pm1,pm1) e
f(pm1,pm1,pm1)=pm1cdotpm1cdotpm1=pm1

Passo 4

Se algum dos valores for zero, diga x=0. Então yz=2lambda x=0, ou seja y=0 ou z=0. Isso gera pontos como (0,0,pmraiz3) e suas permutações, onde f=0. Como |0|<1, estes não são extremos globais.

Passo 5

Comparando os valores de f nos pontos críticos, temos
f=pm1
nos pontos (pm1,pm1,pm1) e
f=0
nos pontos em que alguma coordenada é zero. Logo o máximo global é 1 e o mínimo global é -1.

Resposta

O valor máximo de f é 1.
O valor mínimo de f é -1.

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