Calcule a derivada direcional
para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário
:
, no ponto
, direção de
Passo 1
O enunciado fornece a função
, o ponto
e o vetor unitário de direção
. A tarefa é calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção de
, ou seja,
.
Passo 2
Definição útil (forma limite): a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é
Intuição: mede a taxa de variação de
quando nos deslocamos a partir de
na direção
.
Passo 3
Fórmula prática (quando
é diferenciável): usar o gradiente. Primeiro definimos as derivadas parciais
e o vetor gradiente
A relação chave é
ou seja, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário
. Essa relação pode ser obtida considerando a função unidimensional
e aplicando a regra da cadeia:
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: tratamos como constante e derivamos . Pela regra da potência,
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . Como é linear em ,
Passo 5
Avaliar as parciais no ponto
:
Logo o gradiente em
é
Passo 6
Verificar que
é unitário (importante porque a fórmula
pede vetor de direção de comprimento
):
Portanto
é realmente unitário.
Passo 7
Calcular o produto escalar
:
Passo 8
Verificação alternativa (pela definição via função unidimensional): considere
. Pela regra da cadeia,
confirmando o resultado anterior.