Calcule a derivada direcional D_{\mathbf{u}} f(x, y) para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário \mathbf{u} :
f(x, y)-x^{2} y, no ponto P(1,2), direção de \mathbf{u}-\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=x^{2}y, o ponto P=(1,2) e o vetor unitário de direção \mathbf{u}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right). A tarefa é calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção de \mathbf{u}, ou seja, D_{\mathbf{u}}f(1,2).

Passo 2

Definição útil (forma limite): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h}.
Intuição: mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de P na direção \mathbf{u}.

Passo 3

Fórmula prática (quando f é diferenciável): usar o gradiente. Primeiro definimos as derivadas parciais
\frac{\partial f}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y},
e o vetor gradiente
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
A relação chave é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
ou seja, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário \mathbf{u}. Essa relação pode ser obtida considerando a função unidimensional g(t)=f(P+t\mathbf{u}) e aplicando a regra da cadeia: g'(0)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: tratamos y como constante e derivamos x^{2}. Pela regra da potência,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cdot y = 2xy.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Como f=x^{2}y é linear em y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}.

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto P=(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1\cdot 2=4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1^{2}=1.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(1,2)=(4,\,1).

Passo 6

Verificar que \mathbf{u} é unitário (importante porque a fórmula \nabla f\cdot\mathbf{u} pede vetor de direção de comprimento 1):
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Portanto \mathbf{u} é realmente unitário.

Passo 7

Calcular o produto escalar \nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}:
(4,1)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =4\cdot\frac{3}{5}+1\cdot\frac{4}{5} =\frac{12}{5}+\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.

Passo 8

Verificação alternativa (pela definição via função unidimensional): considere g(t)=f\big(1+\tfrac{3}{5}t,\;2+\tfrac{4}{5}t\big). Pela regra da cadeia,
g'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)\cdot\frac{3}{5}+\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)\cdot\frac{4}{5} =4\cdot\frac{3}{5}+1\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{16}{5}

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