Calcule a derivada direcional
para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário
:
, no ponto
, direção de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
no ponto dado, na direção do vetor unitário
. Dados fornecidos:
- Função:
. - Ponto:
. - Direção:
(foi dado como vetor unitário).
Passo 2
O que é a derivada direcional? Para uma função de duas variáveis diferenciável, a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
mede a taxa de variação de
ao mover-se a partir de
na direção
. Há duas formas equivalentes de definir/calcular:
- Definição limite:
- Fórmula usando o gradiente (método prático quando
é diferenciável e é unitário):
onde
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais. Vou usar a fórmula do gradiente porque é mais direta em provas e prática.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: trata-se de derivar em relação a mantendo constante. A derivada de em relação a é (pois é constante) e a derivada de é . Portanto
- Para
: deriva-se em relação a mantendo constante. A derivada de em relação a é (regra do produto com constante) e a derivada de é . Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas fórmulas:
Logo o gradiente em
é
Passo 5
Verificar que
é unitário:
. Está confirmado, então podemos usar diretamente o produto escalar com o gradiente.
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
Interpretação rápida e amiga: isso significa que, a partir de
, movendo-se na direção positiva de
(visto que
), a função
diminui à taxa de
unidades por unidade de deslocamento na direção de
.