Calcule a derivada direcional D_{\mathbf{u}} f(x, y) para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário \mathbf{u} :
f(x, y)-x y^{2}-x^{2}, no ponto P(2,1), direção de \mathbf{u}-(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f no ponto dado, na direção do vetor unitário \mathbf{u}. Dados fornecidos:
  • Função: f(x,y)=x y^{2}-x^{2}.
  • Ponto: P=(2,1).
  • Direção: \mathbf{u}=(1,0) (foi dado como vetor unitário).

Passo 2

O que é a derivada direcional? Para uma função de duas variáveis diferenciável, a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f ao mover-se a partir de (x_0,y_0) na direção \mathbf{u}. Há duas formas equivalentes de definir/calcular:
  • Definição limite:
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f\big(x_0+h u_1,\;y_0+h u_2\big)-f(x_0,y_0)}{h}.
  • Fórmula usando o gradiente (método prático quando f é diferenciável e \mathbf{u} é unitário):
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f=(f_x,f_y) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais. Vou usar a fórmula do gradiente porque é mais direta em provas e prática.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x y^{2}-x^{2}.
  • Para f_x: trata-se de derivar em relação a x mantendo y constante. A derivada de x y^{2} em relação a x é y^{2} (pois y^{2} é constante) e a derivada de -x^{2} é -2x. Portanto
f_x(x,y)=y^{2}-2x.
  • Para f_y: deriva-se em relação a y mantendo x constante. A derivada de x y^{2} em relação a y é 2xy (regra do produto com x constante) e a derivada de -x^{2} é 0. Portanto
f_y(x,y)=2xy.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(2,1). Substituindo x=2 e y=1 nas fórmulas:
f_x(2,1)=1^{2}-2\cdot 2=1-4=-3,
f_y(2,1)=2\cdot 2\cdot 1=4.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(2,1)=\big(f_x(2,1),\,f_y(2,1)\big)=(-3,\,4).

Passo 5

Verificar que \mathbf{u} é unitário: \|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1. Está confirmado, então podemos usar diretamente o produto escalar com o gradiente.

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u}=(-3,\,4)\cdot(1,0)=-3\cdot 1+4\cdot 0=-3.
Interpretação rápida e amiga: isso significa que, a partir de P, movendo-se na direção positiva de x (visto que \mathbf{u}=(1,0)), a função f diminui à taxa de 3 unidades por unidade de deslocamento na direção de x.

Resposta

-3

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