Calcule a derivada direcional D_{\mathbf{u}} f(x, y) para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário \mathbf{u} :
f(x, y)-e^{x} \sin (y), no ponto P\left(0, \frac{\pi}{2}\right), direção de \mathbf{u}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(x,y) da função f(x,y)=e^{x}\sin(y) no ponto P\left(0,\frac{\pi}{2}\right) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • Função: f(x,y)=e^{x}\sin(y).
  • Ponto: P\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
  • Direção: vetor unitário \mathbf{u}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Objetivo: encontrar D_{\mathbf{u}}f naquele ponto e direção.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar: a derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é, por definição,
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h}.
Quando f é diferenciável em P (o que acontece para funções como e^{x}\sin y, que são suaves), existe uma forma prática e muito usada: basta calcular o gradiente de f e fazer o produto escalar com \mathbf{u}. Ou seja,
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Explicando esses objetos:
  • \nabla f(P) é o vetor gradiente em P, formado pelas derivadas parciais: \nabla f(P)=\bigl(f_x(P),\,f_y(P)\bigr).
  • O produto escalar de dois vetores (a,b) e (c,d) é ac+bd.
Rápida justificativa (intuitiva): se definirmos g(t)=f(P+t\mathbf{u}), então D_{\mathbf{u}}f(P)=g'(0). Pelo teorema da cadeia, g'(0)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}. Então usaremos essa fórmula prática.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\sin(y).
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar em x tratamos \sin(y) como constante, logo
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\sin y.
Aqui usei que a derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}, e a multiplicação por constante \sin y permanece.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar em y tratamos e^{x} como constante, e a derivada de \sin y é \cos y, então
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\cos y.
Portanto o gradiente geral é
\boxed{\nabla f(x,y)=\bigl(e^{x}\sin y,\; e^{x}\cos y\bigr).}

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Calcule componentes:
  • e^{0}=1.
  • \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
  • \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo,
f_x\!\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=1\cdot 1=1, \qquad f_y\!\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=1\cdot 0=0.
Logo
\boxed{\nabla f\!\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=\bigl(1,\,0\bigr).}

Passo 5

Calcular o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Temos \nabla f(P)=(1,0) e \mathbf{u}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). O produto escalar é
D_{\mathbf{u}}f(P)=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Breta verificação rápida por interpretação: o valor positivo indica que, saindo de P na direção de \mathbf{u}, a função cresce com taxa instantânea \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Isso bate com a componente do gradiente que aponta na direção x (como \nabla f(P)=(1,0)) e com o fato de \mathbf{u} ter componente positiva em x.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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