Calcule a derivada direcional
para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário
:
, no ponto
, direção de
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional
da função
no ponto
na direção do vetor unitário
.
Informações relevantes dadas:
- Função:
. - Ponto:
. - Direção: vetor unitário
. - Objetivo: encontrar
naquele ponto e direção.
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar: a derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é, por definição,
Quando
é diferenciável em
(o que acontece para funções como
, que são suaves), existe uma forma prática e muito usada: basta calcular o gradiente de
e fazer o produto escalar com
. Ou seja,
Explicando esses objetos:
-
é o vetor gradiente em , formado pelas derivadas parciais: . - O produto escalar de dois vetores
e é .
Rápida justificativa (intuitiva): se definirmos
, então
. Pelo teorema da cadeia,
. Então usaremos essa fórmula prática.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em tratamos como constante, logo
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
, e a multiplicação por constante
permanece.
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em tratamos como constante, e a derivada de é , então
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Calcule componentes:
-
. -
. -
.
Substituindo,
Logo
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Temos
e
. O produto escalar é
Passo 6
Breta verificação rápida por interpretação: o valor positivo indica que, saindo de
na direção de
, a função cresce com taxa instantânea
. Isso bate com a componente do gradiente que aponta na direção
(como
) e com o fato de
ter componente positiva em
.