Encontre o vetor gradiente
de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto
dado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o ponto
. O que se pede é encontrar o vetor gradiente
avaliado nesse ponto, ou seja, calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde avaliar:
. - Pedido: o vetor gradiente
em .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (passo-a-passo para prova).
- Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
- Intuição simples:
mede como muda quando só varia (mantendo fixo). mede como muda quando só varia (mantendo fixo). - Estratégia prática na prova: para cada derivada parcial, trate a outra variável como constante e diferencie como numa função de uma variável.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
- Tome
. Ao derivar em relação a , considere como constante. - Derivada do primeiro termo
: como é constante, . A derivada de é . Logo a derivada desse termo é . - Derivada do segundo termo
: como não contém , sua derivada em relação a é . - Portanto,
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
- Agora derive
em relação a , tratando como constante. - Derivada do primeiro termo
: com constante, isso é , cuja derivada é . - Derivada do segundo termo
: é . - Portanto,
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Substituindo
e em :
- Substituindo
e em :