Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y) de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto P dado:
f(x, y)-x^{3} y-y^{2}, no ponto P(2,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{3}y-y^{2} e o ponto P(2,-1). O que se pede é encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y) avaliado nesse ponto, ou seja, calcular \nabla f(2,-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=x^{3}y-y^{2}.
  • O ponto onde avaliar: P(2,-1).
  • Pedido: o vetor gradiente \nabla f(x,y) em P.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (passo-a-passo para prova).
  • Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Intuição simples: \frac{\partial f}{\partial x} mede como f muda quando só x varia (mantendo y fixo). \frac{\partial f}{\partial y} mede como f muda quando só y varia (mantendo x fixo).
  • Estratégia prática na prova: para cada derivada parcial, trate a outra variável como constante e diferencie como numa função de uma variável.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) passo a passo.
  • Tome f(x,y)=x^{3}y-y^{2}. Ao derivar em relação a x, considere y como constante.
  • Derivada do primeiro termo x^{3}y: como y é constante, x^{3}y = y\cdot x^{3}. A derivada de x^{3} é 3x^{2}. Logo a derivada desse termo é y\cdot 3x^{2}=3x^{2}y.
  • Derivada do segundo termo -y^{2}: como não contém x, sua derivada em relação a x é 0.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) passo a passo.
  • Agora derive f(x,y)=x^{3}y-y^{2} em relação a y, tratando x como constante.
  • Derivada do primeiro termo x^{3}y: com x^{3} constante, isso é x^{3}\cdot y, cuja derivada é x^{3}.
  • Derivada do segundo termo -y^{2}: é -2y.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{3}-2y.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto P(2,-1).
  • Substituindo x=2 e y=-1 em \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=3\cdot(2)^{2}\cdot(-1)=3\cdot4\cdot(-1)=-12.
  • Substituindo x=2 e y=-1 em \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{3}-2y:
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=(2)^{3}-2\cdot(-1)=8+2=10.

Resposta

\nabla f(2,-1)=(-12,\,10)

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