Calcule a derivada direcional D_{\mathbf{u}} f(x, y) para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário \mathbf{u} :
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, no ponto \(P(3,4), direção de \mathbf{u}=(0,1))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(x,y) para a função dada no ponto e na direção indicados. Os dados do problema são:
  • Função: f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Ponto onde se avalia: P(3,4).
  • Vetor de direção (já dado como unitário): \mathbf{u}=(0,1).
A pergunta concreta: calcular o valor numérico de D_{\mathbf{u}}f no ponto P(3,4) na direção \mathbf{u}.

Passo 2

Verificar se \mathbf{u} é unitário (se não fosse, teríamos que normalizá-lo). Calcula-se a norma:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1.
Logo \mathbf{u} é de fato um vetor unitário, podemos usá-lo direto.

Passo 3

Lembra-te da definição prática que vamos usar: se f é diferenciável no ponto P, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição curta e prática: o gradiente aponta na direção do maior crescimento de f e o produto escalar com \mathbf{u} mede quanto desse crescimento ocorre na direção \mathbf{u}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Usamos a regra da cadeia e a regra do poder:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Explicando devagar: derivar (\cdot)^{1/2} \tfrac{1}{2}(\cdot)^{-1/2} e depois multiplica-se pela derivada interna ( 2x ou 2y), os 2 se cancelam.

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto P(3,4). Primeiro calcule a raiz:
\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Assim
\nabla f(3,4)=\left(\frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\right).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=\nabla f(3,4)\cdot\mathbf{u}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\cdot(0,1)=\frac{3}{5}\cdot 0+\frac{4}{5}\cdot 1=\frac{4}{5}.
Interpretação rápida: na direção vertical (0,1) o aumento instantâneo de f em P é \tfrac{4}{5}.

Passo 7

Verificação pela definição limite (opcional, mas boa para confiança): parametriza-se o caminho t\mapsto (3,4+t) e calcula-se
g(t)=f(3,4+t)=\sqrt{3^{2}+(4+t)^{2}}=\sqrt{25+8t+t^{2}}.
A derivada em t=0 é
g'(0)=\frac{1}{2\sqrt{25+8\cdot 0+0^{2}}}\cdot(8+2\cdot 0)=\frac{8}{2\cdot 5}=\frac{4}{5},
o mesmo resultado — ótimo, tudo consistente.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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