Calcule a derivada direcional
para as funções abaixo, nos pontos dados e na direção do vetor unitário
:
, direção de
)
, direção de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional
para a função dada no ponto e na direção indicados. Os dados do problema são:
- Função:
. - Ponto onde se avalia:
. - Vetor de direção (já dado como unitário):
.
A pergunta concreta: calcular o valor numérico de
no ponto
na direção
.
Passo 2
Verificar se
é unitário (se não fosse, teríamos que normalizá-lo). Calcula-se a norma:
Logo
é de fato um vetor unitário, podemos usá-lo direto.
Passo 3
Lembra-te da definição prática que vamos usar: se
é diferenciável no ponto
, a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e
:
Aqui
é o vetor das derivadas parciais de
em
:
Intuição curta e prática: o gradiente aponta na direção do maior crescimento de
e o produto escalar com
mede quanto desse crescimento ocorre na direção
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia e a regra do poder:
Explicando devagar: derivar
dá
e depois multiplica-se pela derivada interna (
ou
), os
se cancelam.
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro calcule a raiz:
Assim
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Interpretação rápida: na direção vertical
o aumento instantâneo de
em
é
.
Passo 7
Verificação pela definição limite (opcional, mas boa para confiança): parametriza-se o caminho
e calcula-se
A derivada em
é
o mesmo resultado — ótimo, tudo consistente.