Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis: f(x, y)=-4 x^{2} y+5 x y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: usando a definição de diferenciabilidade, verificar se a função f dada por
f(x,y) = -4x^{2}y + 5xy^{2}
é diferenciável. As informações que temos são apenas a expressão de f. A pergunta implícita é se f é diferenciável em todo ponto (x,y) do plano (ou em quais pontos), usando a definição pelo erro de aproximação linear.
Passo 2
Vou escrever a definição de diferenciabilidade que vamos usar (sem pular etapas). Seja um ponto fixo (x_{0},y_{0}). Dizemos que f é diferenciável em (x_{0},y_{0}) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, quando escrevemos incrementos h e k com
Observação: cada termo em R(h,k) tem grau total (soma dos expoentes de h e k) pelo menos 2: por exemplo h^{2} (grau 2), hk (grau 2), k^{2} (grau 2), h^{2}k (grau 3), hk^{2} (grau 3).]
Passo 5
Mostrar que R(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big). Seja r=\|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. Note que |h|\le r e |k|\le r. Então cada monômio de grau m\ge2 satisfaz |\text{monômio}|\le r^{m}\le r^{2} (para r\le 1, e para r>1 a condição local de diferenciabilidade é estudada ao aproximar por r\to0 portanto podemos considerar r suficientemente pequeno). Assim existe uma constante C (que depende de x_{0},y_{0} e dos coeficientes) tal que, para (h,k) perto de (0,0),
|R(h,k)| \le C\,r^{2}.
Por exemplo, usando estimativas simples e que |hk|\le r^{2}, |h^{2}|\le r^{2}, |k^{2}|\le r^{2}, e que os termos de grau 3 são ≤ r^{3}\le r^{2} quando r\le1, pode-se escolher
ou outro valor que domine todos os coeficientes em valor absoluto; o valor exato de C não é importante, apenas que é finito para cada (x_{0},y_{0}).
Logo
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \le C\frac{r^{2}}{r} = C r \xrightarrow{(h,k)\to(0,0)} 0.
Isso mostra exatamente que R(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big).
Passo 6
Concluímos que, para qualquer ponto (x_{0},y_{0}), a aproximação linear fornecida por L(h,k) com coeficientes \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) satisfaz a condição da definição de diferenciabilidade. Portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Além disso, a diferencial (ou gradiente) é a função contínua dada pelas derivadas parciais que calculamos.
Resposta
f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. \nabla f(x,y)=\big(-8xy+5y^{2},\,-4x^{2}+10xy\big).