Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis:
f(x, y)=-4 x^{2} y+5 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: usando a definição de diferenciabilidade, verificar se a função f dada por
f(x,y) = -4x^{2}y + 5xy^{2}
é diferenciável. As informações que temos são apenas a expressão de f. A pergunta implícita é se f é diferenciável em todo ponto (x,y) do plano (ou em quais pontos), usando a definição pelo erro de aproximação linear.

Passo 2

Vou escrever a definição de diferenciabilidade que vamos usar (sem pular etapas). Seja um ponto fixo (x_{0},y_{0}). Dizemos que f é diferenciável em (x_{0},y_{0}) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, quando escrevemos incrementos h e k com
(x,y)=(x_{0}+h,y_{0}+k),
valha
f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big)\quad\text{quando }\;(h,k)\to(0,0).
Aqui \|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. A notação o(\|(h,k)\|) significa que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Na prática, a aplicação linear candidata é dada pelas derivadas parciais avaliadas em (x_{0},y_{0}):
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,k,
então o que faremos é calcular as derivadas parciais, usar esse L e verificar que o resto é o(\|(h,k)\|).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Diferenciando termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(-4x^{2}y+5xy^{2}\big) = -8xy + 5y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(-4x^{2}y+5xy^{2}\big) = -4x^{2} + 10xy.
Portanto, no ponto (x_{0},y_{0}) a aplicação linear candidata é
L(h,k)=\big(-8x_{0}y_{0}+5y_{0}^{2}\big)h+\big(-4x_{0}^{2}+10x_{0}y_{0}\big)k.

Passo 4

Expandir f(x_{0}+h,y_{0}+k) para obter explicitamente o resto. Usando a expressão polinomial:
\begin{aligned} f(x_{0}+h,y_{0}+k) &= -4(x_{0}+h)^{2}(y_{0}+k) + 5(x_{0}+h)(y_{0}+k)^{2}\\[4pt] &= -4\big(x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}\big)\big(y_{0}+k\big) + 5\big(x_{0}+h\big)\big(y_{0}^{2}+2y_{0}k+k^{2}\big). \end{aligned}
Multiplicando e agrupando termos, obtemos (vou listar separadamente termos constantes, lineares e de ordem ≥2):
  • O termo constante (quando h=k=0) é f(x_{0},y_{0})=-4x_{0}^{2}y_{0}+5x_{0}y_{0}^{2}.
  • Os termos lineares em h e k são exatamente
\big(-8x_{0}y_{0}+5y_{0}^{2}\big)h \quad\text{e}\quad \big(-4x_{0}^{2}+10x_{0}y_{0}\big)k,
que coincidem com L(h,k).
  • Os termos restantes (o resto) são todos monômios de grau total ≥2 em h,k. Fazendo a expansão completa (mostrando os monômios), o resto R(h,k) é
\begin{aligned} R(h,k) &= f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)\\[4pt] &= -4y_{0}h^{2} -8x_{0}hk +5x_{0}k^{2} -4h^{2}k +10y_{0}hk +5hk^{2}. \end{aligned}
Observação: cada termo em R(h,k) tem grau total (soma dos expoentes de h e k) pelo menos 2: por exemplo h^{2} (grau 2), hk (grau 2), k^{2} (grau 2), h^{2}k (grau 3), hk^{2} (grau 3).]

Passo 5

Mostrar que R(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big). Seja r=\|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. Note que |h|\le r e |k|\le r. Então cada monômio de grau m\ge2 satisfaz |\text{monômio}|\le r^{m}\le r^{2}ô (para r\le 1, e para r>1 a condição local de diferenciabilidade é estudada ao aproximar por r\to0 portanto podemos considerar r suficientemente pequeno). Assim existe uma constante C (que depende de x_{0},y_{0} e dos coeficientes) tal que, para (h,k) perto de (0,0),
|R(h,k)| \le C\,r^{2}.
Por exemplo, usando estimativas simples e que |hk|\le r^{2}, |h^{2}|\le r^{2}, |k^{2}|\le r^{2}, e que os termos de grau 3 são ≤ r^{3}\le r^{2} quando r\le1, pode-se escolher
C = 4|y_{0}| + 8|x_{0}| + 5|x_{0}| + 4 + 10|y_{0}| + 5
ou outro valor que domine todos os coeficientes em valor absoluto; o valor exato de C não é importante, apenas que é finito para cada (x_{0},y_{0}).
Logo
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \le C\frac{r^{2}}{r} = C r \xrightarrow{(h,k)\to(0,0)} 0.
Isso mostra exatamente que R(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big).

Passo 6

Concluímos que, para qualquer ponto (x_{0},y_{0}), a aproximação linear fornecida por L(h,k) com coeficientes \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) satisfaz a condição da definição de diferenciabilidade. Portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Além disso, a diferencial (ou gradiente) é a função contínua dada pelas derivadas parciais que calculamos.

Resposta

f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
\nabla f(x,y)=\big(-8xy+5y^{2},\,-4x^{2}+10xy\big).

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