Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis: f(x, y)=x^{3} y+x^{2} y^{2}
Passo 1
O enunciado pede verificar, usando a definição, se a função
f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{2}
é diferenciável. Não foi especificado um ponto, então vou analisar a diferenciabilidade em um ponto arbitrário (a,b) e, assim, concluir sobre todo o domínio. As informações que temos são apenas a expressão polinomial de f.
Passo 2
Vou lembrar a definição de diferenciabilidade em duas variáveis de forma bem explícita.
Seja (a,b) um ponto fixo. Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (que será da forma L(h,k)=A h + B k para certos números A,B) tal que, escrevendo h=x-a e k=y-b,
Aqui \sqrt{h^{2}+k^{2}} é a norma euclidiana de (h,k). A ideia é que L deve ser a melhor aproximação linear de f em (a,b); usualmente A e B são as derivadas parciais de f em (a,b).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais forma o candidato natural para A e B. Vou calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e avaliá‑las em (a,b).
Vou usar este L na definição e mostrar que o resto R(h,k) satisfaz a condição da definição.
Passo 5
Calcular f(a+h,b+k) e expandir em potências de h e k. Usando multiplicação e binômio:
f(a+h,b+k)=(a+h)^{3}(b+k)+(a+h)^{2}(b+k)^{2}.
Ao desenvolver e agrupar termos, a expressão fica como soma de:
termos constantes (isto é f(a,b)),
termos lineares em h ou k (que serão exatamente os cancelados por L(h,k)),
termos de ordem \ge 2 em h,k (isto é produtos monômios como h^{2},\,hk,\,k^{2},\,h^{3}, etc.).
Não preciso escrever toda a expansão numérica: o ponto essencial é que, depois de subtrair f(a,b) e L(h,k), sobra apenas uma soma finita de monômios em h e k todos de grau total pelo menos 2. Em notação simbólica:
R(h,k)=\sum_{i+j\ge 2} c_{ij}(a,b)\,h^{i}k^{j},
onde os coeficientes c_{ij}(a,b) são números que dependem de a e b (por exemplo aparecem termos como 3ab, b^{2}, a^{2}, \dots).
Passo 6
Agora vou estimar R(h,k). Seja
r:=\sqrt{h^{2}+k^{2}}.
Então |h|\le r e |k|\le r. Cada monômio h^{i}k^{j} com i+j\ge 2 satisfaz
|h^{i}k^{j}|\le r^{i+j}\le r^{2}\quad\text{(para \(r\le 1\), mas a ideia vale tomando \(r\) suficientemente pequeno; monômios de grau \(\ge 2\) são \(O(r^{2})\)).}
Como a soma em R é finita (a função é um polinômio), existem constantes positivas M(a,b) e r_{0}>0 tais que para 0<r<r_{0}
|R(h,k)|\le M(a,b)\,r^{2}.
(Em termos intuitivos: cada termo de R é um coeficiente finito vezes um monômio de grau \ge2; somando-os dá uma constante multiplicando r^{2}.)
Passo 7
Com a estimativa anterior, divido pelo raio r:
\left|\frac{R(h,k)}{r}\right|\le M(a,b)\,r.
Fazendo (h,k)\to(0,0) significa r\to 0, logo o lado direito tende a 0. Assim
Portanto a definição de diferenciabilidade é satisfeita em (a,b).
Passo 8
Como (a,b) era um ponto arbitrário de \mathbb{R}^{2}, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. (Comentário prático: polinômios em duas variáveis são sempre diferenciáveis em todo o plano; o argumento acima é a versão por definição.)
Resposta
\text{A função }f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{2}\text{ é diferenciável em todo }\mathbb{R}^{2}.çãéá