Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio conveniente para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=3 x y-x^2 y-x y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=3xy - x^2y - xy^2
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais (gradiente) e o critério da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem e o vetor gradiente:
fx(x,y)=partial fpartial x=3y -2xy -y^2,
fy(x,y)=partial fpartial y=3x -x^2 -2xy
Logo,
nabla f(x,y)=l(fx(x,y),,fy(x,y)r)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
Essa sistema dá as seguintes possibilidades:
  • Se que leva a .
Portanto os pontos críticos são

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana:
fxx(x,y)=-2y, fxy(x,y)=fyx(x,y)=3-2x-2y, fyy(x,y)=-2x
O critério de classificação usa o determinante
D(x,y)=fxx(x,y),fyy(x,y)-l[fxy(x,y)r]^2
Se D>0 e fxx<0 é máximo local; se D>0 e fxx>0 é mínimo local; se D<0 é ponto de sela.

Passo 5

Avaliamo-os em cada ponto crítico:
  • Em (0,0):
    fxx=0,;fyy=0,;fxy=3 Rightarrow D=0cdot0-3^2=-9<0 Rightarrow ponto de sela.
  • Em (3,0):
    fxx=0,;fyy=-6,;fxy=-3 Rightarrow D=0cdot(-6)-(-3)^2=-9<0 Rightarrow ponto de sela.
  • Em (0,3):
    fxx=-6,;fyy=0,;fxy=-3 Rightarrow D=(-6)cdot0-(-3)^2=-9<0 Rightarrow ponto de sela.
  • Em (1,1):
    fxx=-2,;fyy=-2,;fxy=-1 Rightarrow D=(-2)(-2)-(-1)^2=4-1=3>0 e fxx=-2<0 Rightarrow máximo local.
    O valor da função é
    f(1,1)=3cdot1cdot1-1^2cdot1-1cdot1^2=1

Passo 6

Para visualizar o comportamento em 3D, pode-se usar um software como GeoGebra 3D ou Mathematica, escolhendo um domínio como -1<= x,y<=4 e um ponto de vista oblíquo. Verá um pico em (1,1,1) e selas nos demais pontos.

Resposta

Máximo local em (1,1) com valor f(1,1)=1.
Não há mínimos locais.
Pontos de sela em (0,0), (3,0) e (0,3).

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