Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio conveniente para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais (gradiente) e o critério da matriz Hessiana.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais (gradiente) e o critério da matriz Hessiana.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem e o vetor gradiente:
Logo,
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Essa sistema dá as seguintes possibilidades:
- Se que leva a .
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana:
O critério de classificação usa o determinante
Se
e
é máximo local; se
e
é mínimo local; se
é ponto de sela.
Passo 5
Avaliamo-os em cada ponto crítico:
-
Em
:
ponto de sela. -
Em
:
ponto de sela. -
Em
:
ponto de sela. -
Em
:
e máximo local.
O valor da função é
Passo 6
Para visualizar o comportamento em
D, pode-se usar um software como GeoGebra
D ou Mathematica, escolhendo um domínio como
e um ponto de vista oblíquo. Verá um pico em
e selas nos demais pontos.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Não há mínimos locais.
Pontos de sela em ,
e
.
Não há mínimos locais.
Pontos de sela em