Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2 y ; x^2+y^2=1

Passo 1

Estamos buscando os extremos de f(x,y)=x^2y sujeitos à restrição x^2+y^2=1. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos permite encontrar pontos críticos de f no círculo unitário.

Passo 2

Construímos o lagrangiano
L(x,y,lambda)=x^2y-lambdal(x^2+y^2-1r)
e escrevemos as equações nablaL=0:
partialLpartial x=2xy-2xlambda=0, partialLpartial y=x^2-2ylambda=0, x^2+y^2=1

Passo 3

Da primeira equação 2x(y-lambda)=0 surgem dois casos:
  • Caso A: x=0.
  • Caso B: y=lambda (quando xneq0).

Passo 4

Analisando cada caso:
Caso A ( x=0): da restrição ,y^2=1 vem y=pm1. Nestes pontos f(0,pm1)=0.
Caso B ( lambda=y): na segunda equação x^2-2ylambda=0 fica
x^2-2y^2=0Longrightarrow x^2=2y^2
Substituindo na restrição:
2y^2+y^2=1Longrightarrow y^2=tfrac13, x^2=tfrac23
Logo y=pmtfrac1raiz3 e x=pmraiztfrac23, totalizando quatro pontos.

Passo 5

Avaliaremos f nesses candidatos:
  • Em (0,pm1): f=0
  • Em l(pmraiztfrac23,,pmtfrac1raiz3r): f=x^2y=tfrac23cdotl(pmtfrac1raiz3r)=pm23raiz3
Comparando os valores, o máximo é +tfrac23raiz3 e o mínimo é -tfrac23raiz3.

Resposta

Máximo de f:
fmax=23raiz3
atingido em l(pmraiztfrac23,,tfrac1raiz3r)
Mínimo de f:
fmin=-23raiz3
atingido em l(pmraiztfrac23,,-tfrac1raiz3r)

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