Sejam f, g: A subset R^2 R, A aberto, duas funções de classe C^2 e tais que
partial fpartial x=partial gpartial y e partial fpartial y=-partial gpartial x
Prove que
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 e partial^2 gpartial x^2+partial^2 gpartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, dadas duas funções e com certas condições, as suas segundas derivadas somadas em e são iguais a zero. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e as condições de Cauchy-Riemann. Vamos precisar aplicar as regras de derivação e entender o que são equações de Cauchy-Riemann para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações dadas são:
partial fpartial x = partial gpartial y e partial fpartial y = -partial gpartial x
Essas são as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de variável complexa. Elas relacionam as derivadas parciais de e .

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 e partial^2 gpartial x^2 + partial^2 gpartial y^2 = 0
Essas expressões representam a Laplaciana de e , e mostrar que elas são zero significa que e são funções harmônicas.

Passo 4

Vamos começar calculando a segunda derivada de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x( partial fpartial x ) = partialpartial x( partial gpartial y ) em relação a :
Aqui, usamos a primeira equação de Cauchy-Riemann para substituir por .

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada de partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y( partial fpartial y ) = partialpartial y( -partial gpartial x ) = -partialpartial y( partial gpartial x ) em relação a :
Novamente, usamos a segunda equação de Cauchy-Riemann para substituir .

Passo 6

Somando as duas segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = partialpartial x( partial gpartial y ) - partialpartial y( partial gpartial x )
Observamos que estamos aplicando a regra da derivada mista.

Passo 7

Pela Clareza das Derivadas Mistas (Teorema de Schwarz), sabemos que:
partialpartial x( partial gpartial y ) = partialpartial y( partial gpartial x )
Isso ocorre porque é de classe , ou seja, suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e podem ser comutadas.

Passo 8

Substituindo de volta na soma das segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = partialpartial x( partial gpartial y ) - partialpartial y( partial gpartial x ) = 0
Portanto, demonstramos que a Laplaciana de é igual a zero.

Passo 9

Agora, vamos repetir o mesmo processo para a função partial^2 gpartial x^2 = partialpartial x( partial gpartial x ) . Calculamos as segundas derivadas:
Primeiro, a segunda derivada de partial^2 gpartial y^2 = partialpartial y( partial gpartial y ) em relação a :
Segundo, a segunda derivada de em relação a :

Passo 10

Usando as Equações de Cauchy-Riemann novamente:
partial gpartial x = -partial fpartial y e partial gpartial y = partial fpartial x
Substituímos essas expressões nas segundas derivadas:
partial^2 gpartial x^2 = partialpartial x( -partial fpartial y ) = -partialpartial x( partial fpartial y )
partial^2 gpartial y^2 = partialpartial y( partial fpartial x )

Passo 11

Somando as duas segundas derivadas de partial^2 gpartial x^2 + partial^2 gpartial y^2 = -partialpartial x( partial fpartial y ) + partialpartial y( partial fpartial x ) :
-partialpartial x( partial fpartial y ) + partialpartial y( partial fpartial x ) = 0
Mais uma vez, pela Clareza das Derivadas Mistas, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 e partial^2 gpartial x^2 + partial^2 gpartial y^2 = 0
Isso prova que tanto quanto são funções harmônicas.

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