Sejam
aberto, duas funções de classe
e tais que
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, dadas duas funções
e
com certas condições, as suas segundas derivadas somadas em
e
são iguais a zero. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e as condições de Cauchy-Riemann. Vamos precisar aplicar as regras de derivação e entender o que são equações de Cauchy-Riemann para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações dadas são:
Essas são as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de variável complexa. Elas relacionam as derivadas parciais de
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que:
Essas expressões representam a Laplaciana de
e
, e mostrar que elas são zero significa que
e
são funções harmônicas.
Passo 4
Vamos começar calculando a segunda derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a primeira equação de Cauchy-Riemann para substituir
por
.
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Novamente, usamos a segunda equação de Cauchy-Riemann para substituir
.
Passo 6
Somando as duas segundas derivadas:
Observamos que estamos aplicando a regra da derivada mista.
Passo 7
Pela Clareza das Derivadas Mistas (Teorema de Schwarz), sabemos que:
Isso ocorre porque
é de classe
, ou seja, suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e podem ser comutadas.
Passo 8
Substituindo de volta na soma das segundas derivadas:
Portanto, demonstramos que a Laplaciana de
é igual a zero.
Passo 9
Agora, vamos repetir o mesmo processo para a função
. Calculamos as segundas derivadas:
Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
Segundo, a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 10
Usando as Equações de Cauchy-Riemann novamente:
Substituímos essas expressões nas segundas derivadas:
Passo 11
Somando as duas segundas derivadas de
:
Mais uma vez, pela Clareza das Derivadas Mistas, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso prova que tanto
quanto
são funções harmônicas.