Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q. Calcule também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de a . Além disso, vamos encontrar a direção na qual cresce mais rapidamente e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que aponta de para . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Em seguida, vamos normalizar esse vetor para obter a direção unitária. A magnitude de é:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de . As derivadas parciais de são:
Então, o gradiente de no ponto é:
Simplificando o argumento:
Portanto:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente por :

Passo 6

A direção na qual cresce mais rapidamente é a direção do gradiente . Já calculamos:
Para encontrar a direção unitária, normalizamos o gradiente:
Então, a direção unitária é:
A taxa de crescimento mais rápida é a magnitude do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de a é . A direção na qual cresce mais rapidamente é e a taxa de crescimento nessa direç��o é .

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