Calcule.
integral0^1 x raizx^2+3 d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que requerem uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos usar uma técnica chamada substituição. Primeiro, escolhemos substituir uma parte da integral por uma nova variável para simplificar. Aqui, vamos definir:
u = x^2 + 3
Isso porque a expressão está dentro da raiz e facilita a substituição.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x implies du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para substituir integral0^1 x raizx^2 + 3 , dx = integral raizu cdot du2 . Derivando ambos os lados:
Isso significa que:
Substituindo na integral original:

Passo 4

Simplificando a integral:
12 integral raizu , du
Sabemos que 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta 13 (x^2 + 3)^3/2 :
13 (x^2 + 3)^3/2 |0^1 = 13 [ (1 + 3)^3/2 - (0 + 3)^3/2 ]
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
= 13 [ (4)^3/2 - (3)^3/2 ] = 13 [ 8 - 3raiz3 ] = 83 - raiz3
Calculando:

Resposta

A integral vale .

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