Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, onde a função é zero, onde é positiva ou negativa e, claro, esboçar o gráfico. A matéria aqui envolve funções definidas por partes e análise de suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função dada é:
A gente vê que a função está definida para
e para
. Então, o domínio é a união desses intervalos:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os valores que
pode assumir.
-
Para
: Quandovai até , também vai até . Quando , . Então, nessa parte,varia de a . -
Para
: Quandoaumenta, diminui. Quando , . Então, nessa parte,varia de a .
Unindo as duas partes, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos encontrar o conjunto de zeros da função, ou seja, os valores de
onde
.
-
Para
: Masnão está no domínio dessa parte ( ), então não tem zero aqui. -
Para
: Porém,não está incluído em , então também não tem zero nessa parte.
Portanto, a função não tem zeros.
Passo 5
Agora, vamos ver onde a função é positiva ou negativa.
-
Para
: Comoé menor ou igual a , será negativo. -
Para
: Com, também é negativo.
Então, a função é negativa em todo o seu domínio.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função.
-
Para
: É uma reta crescente que passa pelo ponto. -
Para
: É uma reta decrescente que passa pelo ponto.
Entre
e
, a função não está definida, então tem um intervalo sem o gráfico.
Resposta
- Domínio:
e - Imagem:
- Conjunto de zeros: Não há zeros (
) - Intervalos de positividade: Nenhum
- Intervalos de negatividade:
e - Gráfico: A função é composta por duas retas:
- Uma reta crescente
para , passando por . - Uma reta decrescente
para , passando por . - Não há definição entre
e , criando um intervalo vazio no gráfico.
- Uma reta crescente