Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = { 2x, x <= -1; -x + 1, x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, onde a função é zero, onde é positiva ou negativa e, claro, esboçar o gráfico. A matéria aqui envolve funções definidas por partes e análise de suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função dada é:
A gente vê que a função está definida para e para . Então, o domínio é a união desses intervalos:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os valores que pode assumir.
  • Para :
    Quando vai até , também vai até . Quando , .
    Então, nessa parte, varia de a .
  • Para :
    Quando aumenta, diminui. Quando , .
    Então, nessa parte, varia de a .
Unindo as duas partes, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos encontrar o conjunto de zeros da função, ou seja, os valores de onde .
  • Para :
    Mas não está no domínio dessa parte ( ), então não tem zero aqui.
  • Para :
    Porém, não está incluído em , então também não tem zero nessa parte.
Portanto, a função não tem zeros.

Passo 5

Agora, vamos ver onde a função é positiva ou negativa.
  • Para :
    Como é menor ou igual a , será negativo.
  • Para :
    Com , também é negativo.
Então, a função é negativa em todo o seu domínio.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função.
  • Para :
    É uma reta crescente que passa pelo ponto .
  • Para :
    É uma reta decrescente que passa pelo ponto .
Entre e , a função não está definida, então tem um intervalo sem o gráfico.

Resposta

  • Domínio: e
  • Imagem:
  • Conjunto de zeros: Não há zeros ( )
  • Intervalos de positividade: Nenhum
  • Intervalos de negatividade: e
  • Gráfico: A função é composta por duas retas:
    • Uma reta crescente para , passando por .
    • Uma reta decrescente para , passando por .
    • Não há definição entre e , criando um intervalo vazio no gráfico.

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