Calcule a diferencial.
,
Passo 1
Enunciado: calcular a diferencial da função
.
O que se pede: encontrar a diferencial total em termos de
e
.
Informações dadas: a função é de duas variáveis e
; assumimos
e
independentes.
O que se pede: encontrar a diferencial total
Informações dadas: a função é de duas variáveis
Passo 2
O que é a diferencial total?
A diferencial total de uma função é a aproximação linear de variação de
quando
e
mudam um pouco. A fórmula é
A diferencial total de uma função
Aqui
e
são as variações independentes de
e
, e
,
são as derivadas parciais que precisamos calcular.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadinhas):
- Regra do produto: se
, então
e análogo para
.
- Regra da cadeia: se
, então
Exemplo curto:
. Então para
,
Passo 4
Calcular
.
Temos . Aplicando a regra do produto, tratando
como
:
Temos
Agora a parte da cadeia: ponha
. Então
Como
, obtemos
Substituindo em
:
Passo 5
Calcular
.
Novamente . Agora
é tratado como constante em relação a
, então pela regra do produto:
Novamente
Pela regra da cadeia, com
,
Como
, obtemos
Portanto
Passo 6
Montando a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
Como checagem alternativa rápida (método prático que às vezes uso na prova): escrevendo diferencial diretamente,
E
Substituindo e expandindo recuperamos exatamente a expressão acima, confirmando o resultado.