Calcule a diferencial.
z=x \operatorname{arctg}(x+2 y),

Passo 1

Enunciado: calcular a diferencial da função \;z = x\,\operatorname{arctg}(x+2y)\;.
O que se pede: encontrar a diferencial total \;dz\; em termos de \;dx\; e \;dy.
Informações dadas: a função é de duas variáveis x e y; assumimos x e y independentes.

Passo 2

O que é a diferencial total?
A diferencial total de uma função z(x,y) é a aproximação linear de variação de z quando x e y mudam um pouco. A fórmula é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Aqui \;dx\; e \;dy\; são as variações independentes de x e y, e \partial z/\partial x, \partial z/\partial y são as derivadas parciais que precisamos calcular.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra do produto: se z = u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}
e análogo para \partial z/\partial y.
  • Regra da cadeia: se v(x,y)=f(g(x,y)), então
\frac{\partial v}{\partial x} = f'(g(x,y))\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
Exemplo curto: \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}t = \dfrac{1}{1+t^{2}}. Então para t=g(x,y),
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(g(x,y))=\frac{1}{1+g(x,y)^{2}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Temos z = x\cdot \operatorname{arctg}(x+2y). Aplicando a regra do produto, tratando \operatorname{arctg}(x+2y) como v:
\frac{\partial z}{\partial x} = 1\cdot\operatorname{arctg}(x+2y) + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(x+2y).
Agora a parte da cadeia: ponha t=x+2y. Então
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(x+2y)=\frac{1}{1+(x+2y)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y).
Como \partial(x+2y)/\partial x = 1, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(x+2y)=\frac{1}{1+(x+2y)^{2}}.
Substituindo em \partial z/\partial x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\operatorname{arctg}(x+2y)+\frac{x}{1+(x+2y)^{2}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Novamente z = x\cdot \operatorname{arctg}(x+2y). Agora x é tratado como constante em relação a y, então pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{arctg}(x+2y).
Pela regra da cadeia, com t=x+2y,
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{arctg}(x+2y)=\frac{1}{1+(x+2y)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y).
Como \partial(x+2y)/\partial y = 2, obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{arctg}(x+2y)=\frac{2}{1+(x+2y)^{2}}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x}{1+(x+2y)^{2}}.

Passo 6

Montando a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
dz=\left(\operatorname{arctg}(x+2y)+\frac{x}{1+(x+2y)^{2}}\right)dx+\left(\frac{2x}{1+(x+2y)^{2}}\right)dy.
Como checagem alternativa rápida (método prático que às vezes uso na prova): escrevendo diferencial diretamente,
dz = d\big(x\big)\cdot\operatorname{arctg}(x+2y) + x\cdot d\big(\operatorname{arctg}(x+2y)\big).
E
d\big(\operatorname{arctg}(x+2y)\big)=\frac{1}{1+(x+2y)^{2}}\,d(x+2y)=\frac{1}{1+(x+2y)^{2}}\,(dx+2\,dy).
Substituindo e expandindo recuperamos exatamente a expressão acima, confirmando o resultado.

Resposta

dz=\left(\operatorname{arctg}(x+2y)+\frac{x}{1+(x+2y)^{2}}\right)dx+\left(\frac{2x}{1+(x+2y)^{2}}\right)dy

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