Calcule a derivada direcional de f(x, y) = 2 / (x^2 + y^2), no ponto (2, 2) e na direção de máximo crescimento da imagem.

Passo 1

Vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de máximo crescimento. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente. Para resolver, vamos precisar encontrar o gradiente da função e avaliar seu módulo no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

O gradiente de no ponto é então:

Passo 6

A direção de máximo crescimento da função é dada pela direção do gradiente. Para encontrar a derivada direcional nessa direção, calculamos o módulo do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de máximo crescimento é .

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