Calcule a derivada direcional de , no ponto e na direção de máximo crescimento da imagem.
Passo 1
Vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de máximo crescimento. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente. Para resolver, vamos precisar encontrar o gradiente da função e avaliar seu módulo no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Passo 5
O gradiente de no ponto é então:
Passo 6
A direção de máximo crescimento da função é dada pela direção do gradiente. Para encontrar a derivada direcional nessa direção, calculamos o módulo do gradiente:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de máximo crescimento é .