Suponha que uma lata em formato cilíndrico seja projetada para ter um raio de 10 cm e uma altura de 15 cm , mas que o raio e a altura estejam com erros de dr = +2 cm e d h = -1 cm. Use diferencial para estimar a variação resultante no volume da lata.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem uma lata cilíndrica com raio de 10 cm e altura de 15 cm. Mas esses valores não estão perfeitos: o raio tem um aumento de 2 cm e a altura tem uma redução de 1 cm. A parada é usar o cálculo de diferenciais pra estimar como essas variações no raio e na altura vão afetar o volume da lata. Pra isso, a gente vai precisar saber a fórmula do volume de um cilindro e entender como usar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
Onde é o raio e é a altura.

Passo 3

Agora, pra encontrar como as mudanças em e afetam o volume, a gente vai calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos usar essas derivadas parciais pra encontrar a variação no volume, chamada de diferencial . A fórmula do diferencial é:
Onde é a variação no raio e é a variação na altura.

Passo 5

Vamos substituir os valores que a gente tem:
  • cm
  • cm
  • cm
  • cm
Primeiro, calculamos as derivadas parciais com esses valores:
Agora, aplicamos na fórmula do diferencial:

Resposta

A variação estimada no volume da lata é cm³.

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