Suponha que uma lata em formato cilíndrico seja projetada para ter um raio de 10 cm e uma altura de 15 cm , mas que o raio e a altura estejam com erros de
e
. Use diferencial para estimar a variação resultante no volume da lata.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem uma lata cilíndrica com raio de 10 cm e altura de 15 cm. Mas esses valores não estão perfeitos: o raio tem um aumento de 2 cm e a altura tem uma redução de 1 cm. A parada é usar o cálculo de diferenciais pra estimar como essas variações no raio e na altura vão afetar o volume da lata. Pra isso, a gente vai precisar saber a fórmula do volume de um cilindro e entender como usar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
Onde
é o raio e
é a altura.
Passo 3
Agora, pra encontrar como as mudanças em
e
afetam o volume, a gente vai calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos usar essas derivadas parciais pra encontrar a variação no volume, chamada de diferencial
. A fórmula do diferencial é:
Onde
é a variação no raio e
é a variação na altura.
Passo 5
Vamos substituir os valores que a gente tem:
-
cm -
cm -
cm -
cm
Primeiro, calculamos as derivadas parciais com esses valores:
Agora, aplicamos na fórmula do diferencial:
Resposta
A variação estimada no volume da lata é
cm³.