Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = -4, da região limitada pelas parábolas y = x^2 - 4 e y = -x^2 + 4.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando integração. O problema pede para encontrarmos o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada pelas parábolas e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região que está sendo rotacionada. Temos duas parábolas:
  1. – Esta parábola abre para cima e está deslocada 4 unidades para baixo.
  2. – Esta parábola abre para baixo e está deslocada 4 unidades para cima.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Somando e 4 aos dois lados:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Como estamos rotacionando em torno da reta , que está abaixo das duas parábolas, usaremos o método dos anéis (discos). A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a distância do ponto mais externo à linha de rotação e é a distância do ponto mais interno à linha de rotação.

Passo 4

Vamos determinar e :
  • A parábola está acima de , então:
  • A parábola está abaixo, então:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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