Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando integração. O problema pede para encontrarmos o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada pelas parábolas
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região que está sendo rotacionada. Temos duas parábolas:
-
– Esta parábola abre para cima e está deslocada 4 unidades para baixo. -
– Esta parábola abre para baixo e está deslocada 4 unidades para cima.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Somando
e 4 aos dois lados:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Como estamos rotacionando em torno da reta
, que está abaixo das duas parábolas, usaremos o método dos anéis (discos). A fórmula para o volume usando esse método é:
onde
é a distância do ponto mais externo à linha de rotação e
é a distância do ponto mais interno à linha de rotação.
Passo 4
Vamos determinar
e
:
- A parábola
está acima de , então: - A parábola
está abaixo, então:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.