Encontre o vetor unitário u na direção de máximo crescimento de f(x, y) = x * y^2 + e^(x * y) * sen(x) no ponto P = (0, 1) e calcule o valor da derivada direcional de f no ponto P e na direção de u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor unitário u que aponta na direção de máximo crescimento da função no ponto . Além disso, precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto P na direção de u.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função e de derivadas direcionais. O gradiente nos dá a direção de máximo crescimento, e a derivada direcional nos diz qual é a taxa de variação da função nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e a y. Essas derivadas são componentes do vetor gradiente.
A derivada parcial de f em relação a x é:
E a derivada parcial de f em relação a y é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Calculando em 0,1:
Calculando em 0,1:

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos formar o vetor gradiente nabla f no ponto P:
O vetor gradiente aponta na direção de máximo crescimento da função.

Passo 5

Para encontrar o vetor unitário u na direção de nabla f, precisamos normalizar o vetor gradiente. Ou seja, dividir o vetor gradiente pelo seu módulo.
Calculando o módulo de :
Portanto, o vetor unitário u é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção de u. A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção:

Resposta

O vetor unitário na direção de máximo crescimento é e a derivada direcional de f no ponto P nessa direção é .

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