Encontre o vetor unitário
na direção de máximo crescimento de
no ponto
e calcule o valor da derivada direcional de
no ponto
e na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor unitário
que aponta na direção de máximo crescimento da função
no ponto
. Além disso, precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função e de derivadas direcionais. O gradiente nos dá a direção de máximo crescimento, e a derivada direcional nos diz qual é a taxa de variação da função nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Essas derivadas são componentes do vetor gradiente.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos formar o vetor gradiente
no ponto
:
O vetor gradiente aponta na direção de máximo crescimento da função.
Passo 5
Para encontrar o vetor unitário
na direção de
, precisamos normalizar o vetor gradiente. Ou seja, dividir o vetor gradiente pelo seu módulo.
Calculando o módulo de
:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção de
. A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção:
Resposta
O vetor unitário na direção de máximo crescimento é
e a derivada direcional de
no ponto
nessa direção é
.