Encontre a equação da reta tangente ao círculo de equação
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo definido pela equação
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre círculos e retas tangentes. Precisaremos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio do círculo, calcular a inclinação da reta que conecta o centro ao ponto de tangência e, por fim, determinar a equação da reta tangente.
Passo 2
Vamos começar encontrando o centro e o raio do círculo. A equação geral de um círculo é
. Para encontrar o centro
e o raio
, completamos o quadrado para os termos de
e
.
Primeiro, reorganizamos a equação:
Agora, completamos o quadrado para
e para
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação original:
Então, o centro do círculo é
e o raio é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta que conecta o centro do círculo
ao ponto de tangência
. A inclinação
de uma reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
A reta tangente ao círculo no ponto
será perpendicular à reta que liga o centro do círculo a esse ponto. A inclinação
de uma reta perpendicular à primeira é o negativo do inverso da inclinação original:
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente
e um ponto por onde ela passa
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente ao círculo no ponto
é: