Encontre a equação da reta tangente ao círculo de equação x^2 - 4 x + y^2 - 10 y = -4 no ponto -1,9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo definido pela equação e precisamos encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre círculos e retas tangentes. Precisaremos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio do círculo, calcular a inclinação da reta que conecta o centro ao ponto de tangência e, por fim, determinar a equação da reta tangente.

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro e o raio do círculo. A equação geral de um círculo é . Para encontrar o centro e o raio , completamos o quadrado para os termos de e .
Primeiro, reorganizamos a equação:
Agora, completamos o quadrado para e para :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação original:
Então, o centro do círculo é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta que conecta o centro do círculo ao ponto de tangência . A inclinação de uma reta que passa por dois pontos e é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

A reta tangente ao círculo no ponto será perpendicular à reta que liga o centro do círculo a esse ponto. A inclinação de uma reta perpendicular à primeira é o negativo do inverso da inclinação original:

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e um ponto por onde ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao círculo no ponto é:

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