Determine a de forma que v :
v=(x+3 y) i+(y-2 z) j+(x+a z) k
represente um fluído incompressível.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
v=(x+3y),i+(y-2z),j+(x+a z),k
e pede o valor de a para que o fluido seja incompressível. Em mecânica dos fluidos e em cálculo vetorial, um fluido é incompressível se e somente se a divergência do campo de velocidades for nula:
nablacdotv=0

Passo 2

Calculamos a primeira parcela da divergência, que é a derivada parcial do componente vx=x+3y em relação a x:
partialpartial x(x+3y)=1,
pois 3y é tratado como constante em relação a x.

Passo 3

Calculamos a segunda parcela da divergência, que é a derivada parcial do componente vy=y-2z em relação a y:
partialpartial y(y-2z)=1,
já que -2z é constante em relação a y.

Passo 4

Calculamos a terceira parcela da divergência, que é a derivada parcial do componente vz=x+a z em relação a z:
partialpartial z(x+a z)=a,
pois x é constante em relação a z.

Passo 5

Somando as três parcelas, obtemos
nablacdotv =1+1+a =2+a
Para o fluido ser incompressível, precisamos de nablacdotv=0. Portanto,
2+a=0 Longrightarrow a=-2

Resposta

a=-2

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