Calcule os limites, se existirem. Se não existir, justifique a sua não existência.
lim x -2 x^3+82 x^2+6 x+4

Passo 1

O enunciado pede
limxto -2x^3+82x^2+6x+4
Percebemos que substituindo x=-2 obtemos 0/0, um caso indeterminado. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de funções racionais.

Passo 2

Fatoramos o numerador como soma de cubos e o denominador como produto de fatores lineares:
x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4),
2x^2+6x+4 = 2,(x^2+3x+2) = 2,(x+2)(x+1)

Passo 3

Como xneq -2 (na vizinhança de -2), podemos cancelar o fator comum (x+2):
x^3+82x^2+6x+4 = (x+2)(x^2-2x+4)2,(x+2)(x+1) = x^2-2x+42,(x+1)

Passo 4

Agora substituímos x=-2 na expressão simplificada:
numerador: (-2)^2-2(-2)+4 = 4+4+4 = 12,
denominador: 2,(-2+1) = 2cdot(-1) = -2.
Logo,
limxto -2x^2-2x+42,(x+1) = 12-2 = -6

Passo 5

Concluímos que o limite existe e vale -6.

Resposta

-6

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