Obtenha, por integração, a área do triângulo que tem vértices (6,1), (1,4) e (-2,-3).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices (6,1), (1,4) e (-2,-3) por integração. O conteúdo é geometria analítica e cálculo integral: vamos projetar o triângulo no eixo x, achar as retas que formam os lados como funções y(x) e integrar a diferença entre a fronteira superior e a inferior.

Passo 2

Denotando
A = (-2,-3),
B = (1,4),
C = (6,1),
as retas que unem esses pontos são:
AB: y = 73x + 53
AC: y = 12x - 2
BC: y = -35x + 235

Passo 3

Ao projetar no eixo x, vemos que x varia de -2 a 6. Esse intervalo divide-se em dois pedaços:
[-2,1] e [1,6].
Em [-2,1], a curva superior é AB e a inferior é AC.
Em [1,6], a curva superior é BC e a inferior é AC.

Passo 4

Calculamos a área na parte [-2,1]:
I1 = integral-2^1 l((tfrac73x+tfrac53) - (tfrac12x -2)r),dx
O integrando simplifica-se a
tfrac73x+tfrac53 - l(tfrac12x-2r) = tfrac116x + tfrac113,
cuja antiderivada é
1112x^2 + 113x
Logo,
I1 = l[tfrac1112x^2 + tfrac113xr]-2^1 = 334

Passo 5

Calculamos a área na parte [1,6]:
I2 = integral1^6 l((-tfrac35x+tfrac235) - (tfrac12x -2)r),dx
O integrando simplifica-se a
-tfrac1110x + tfrac335,
cuja antiderivada é
-1120x^2 + 335x
Logo,
I2 = l[-tfrac1120x^2 + tfrac335xr]1^6 = 554

Passo 6

Somando as duas parcelas:
Área = I1 + I2 = 334 + 554 = 22 Á

Resposta

22

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