Obtenha, por integração, a área do triângulo que tem vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área do triângulo com vértices
,
e
por integração. O conteúdo é geometria analítica e cálculo integral: vamos projetar o triângulo no eixo
, achar as retas que formam os lados como funções
e integrar a diferença entre a fronteira superior e a inferior.
Passo 2
Denotando
A ,
B ,
C ,
as retas que unem esses pontos são:
A
B
C
as retas que unem esses pontos são:
Passo 3
Ao projetar no eixo
, vemos que
varia de
a
. Esse intervalo divide-se em dois pedaços:
e
.
Em , a curva superior é
e a inferior é
.
Em , a curva superior é
e a inferior é
.
Em
Em
Passo 4
Calculamos a área na parte
:
O integrando simplifica-se a
cuja antiderivada é
Logo,
Passo 5
Calculamos a área na parte
:
O integrando simplifica-se a
cuja antiderivada é
Logo,
Passo 6
Somando as duas parcelas: