Considere a função
, com
constantes.
Supondo que
admite derivadas parciais até a terceira ordem continuas em
, verifique que:
onde
e
Supondo que
Passo 1
Temos a função composta
onde
são constantes e
é
. O objetivo é aplicar repetidamente a regra da cadeia para encontrar
.
Passo 2
Defina
Pela regra da cadeia, a primeira derivada é
Passo 3
Para a segunda derivada, derive
em relação a
. Note que
e
dependem de
, então
Aplicando novamente a regra da cadeia a cada termo:
Logo
usando
.
Passo 4
Para a terceira derivada, derive
em relação a
. Cada termo
gera mais derivadas parciais:
Agrupando e usando a simetria das derivadas mistas (
,
), obtemos
Resposta
em
.