Considere a função g(t)=f(a+h t, b+k t), com a, b, h, k constantes.
Supondo que f(x, y) admite derivadas parciais até a terceira ordem continuas em R^2, verifique que:
d^3 gd t^3(t)=h^3 partial^3 fpartial x^3(x, y)+3 h^2 k partial^3 fpartial x^2 partial y(x, y)+3 h k^2 partial^3 fpartial x partial y^2(x, y)+k^3 partial^3 fpartial y^3(x, y)
onde x=a+h t e y=b+k t

Passo 1

Temos a função composta
g(t)=fl(a+h,t,;b+k,tr),
onde a,b,h,k são constantes e fcolonR^2toR é C^3. O objetivo é aplicar repetidamente a regra da cadeia para encontrar tfracd^3gdt^3(t).

Passo 2

Defina
x(t)=a+h,t, y(t)=b+k,t
Pela regra da cadeia, a primeira derivada é
dgdt =partial fpartial x(x,y),dxdt +partial fpartial y(x,y),dydt =fx(x,y),h+fy(x,y),k

Passo 3

Para a segunda derivada, derive tfracdgdt em relação a t. Note que fx e fy dependem de (x,y), então
d^2gdt^2 =ddtl(fx(x,y)r),h +ddtl(fy(x,y)r),k
Aplicando novamente a regra da cadeia a cada termo:
ddtl(fx(x,y)r) =fxx(x,y),h+fxy(x,y),k, ddtl(fy(x,y)r) =fyx(x,y),h+fyy(x,y),k
Logo
d^2gdt^2 =hl(h,fxx+k,fxyr) +kl(h,fyx+k,fyyr) =h^2fxx+2hk,fxy+k^2fyy,
usando fxy=fyx.

Passo 4

Para a terceira derivada, derive
d^2gdt^2 =h^2fxx+2hk,fxy+k^2fyy
em relação a t. Cada termo fij gera mais derivadas parciais:
d^3gdt^3 =h^2l(fxxxh+fxxykr) +2hkl(fxyxh+fxyykr) +k^2l(fyyxh+fyyykr)
Agrupando e usando a simetria das derivadas mistas ( fxxy=fxyx=fyxx, fxyy=fyyx=fyxy), obtemos
d^3gdt^3 =h^3fxxx +3h^2k,fxxy +3hk^2,fxyy +k^3fyyy

Resposta

d^3gdt^3(t) =h^3,partial^3fpartial x^3 +3h^2k,partial^3fpartial x^2partial y +3hk^2,partial^3fpartial xpartial y^2 +k^3,partial^3fpartial y^3,
em (x,y)=(a+h,t,b+k,t).

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