Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=y^3+3 x^2 y+exp (x y), no ponto P0(1,0), na direção do vetor v=-4 i+3 j.

Passo 1

A questão pede a derivada direcional da função f(x,y)=y^3+3x^2y+e^xy no ponto P0=(1,0) na direção do vetor vec v=(-4,3). O conteúdo envolve derivadas parciais para montar o gradiente nabla f e depois calcular o produto escalar com o vetor unitário da direção.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. A teoria diz que
partial fpartial x(x,y)=6xy+y,e^xy,
partial fpartial y(x,y)=3y^2+3x^2+x,e^xy

Passo 3

Em seguida, avaliamos essas derivadas em P0=(1,0). Como e^1cdot0=1 e y=0, temos
partial fpartial x(1,0)=0,
partial fpartial y(1,0)=3cdot1^2+1cdot1=4
Logo, nabla f(1,0)=(0,4).

Passo 4

Agora normalizamos o vetor de direção. O módulo de vec v=(-4,3) é
|vec v|=raiz(-4)^2+3^2=5,
e o vetor unitário é
u=vec v|vec v|=l(-tfrac45,,tfrac35r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e u:
D uf(1,0)=nabla f(1,0)cdot u=(0,4)cdotl(-tfrac45,tfrac35r)=tfrac125

Resposta

tfrac125

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