Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y^prime+y^2 sen(x)=0, com y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + y^2 sin(x) = 0
com condição inicial y(0)=2. Reconhecemos que é uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo a derivada, temos
dydx = -,y^2 ,sin(x)
e portanto podemos separar as variáveis:
dyy^2 = -sin(x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral -sin(x),dx
-1y = cos(x) + C

Passo 4

Isolando y, obtemos
1y = -cos(x) - C Longrightarrow y = 1-,cos(x) - C = 1C1 - cos(x),
onde definimos C1 = -C.

Passo 5

Aplicando a condição y(0)=2: como cos(0)=1,
2 = 1C1 - 1 Longrightarrow C1 - 1 = tfrac12 Longrightarrow C1 = tfrac32
Substituindo,
y(x) = 1tfrac32 - cos(x) = 23 - 2cos(x)

Resposta

y(x) = 23 - 2cos(x)

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