Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral (ou, se existir, solução singular). Essa equação tem a forma clássica de Clairaut:
onde
e
.
Passo 2
Para a solução geral de uma equação de Clairaut, tomamos
constante. Substituindo em
obtemos
onde
é parâmetro arbitrário. Logo a família de soluções gerais é
Passo 3
Para encontrar a solução singular (envelope da família), diferenciamos a relação original em relação a
, tratando
e
como fixos:
Substituindo
em
dá
Passo 4
Concluímos que a equação de Clairaut fornecida possui:
– solução geral de primeira ordem: ;\n
– solução singular (envelope): , válida para
.
– solução geral de primeira ordem:
– solução singular (envelope):
Resposta
Solução geral:
.\n
Solução singular: .
Solução singular: