Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y=x y^prime-e^y^prime.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x,y' - e^y'
e pede a solução geral (ou, se existir, solução singular). Essa equação tem a forma clássica de Clairaut:
y = x,p - f(p),
onde p=y' e f(p)=e^p.

Passo 2

Para a solução geral de uma equação de Clairaut, tomamos p=y'=!C constante. Substituindo em y = x,p - e^p obtemos
y = Cx - e^C,
onde C é parâmetro arbitrário. Logo a família de soluções gerais é
y(x)=Cx - e^C

Passo 3

Para encontrar a solução singular (envelope da família), diferenciamos a relação original em relação a p, tratando y e x como fixos:
ddpl(x,p - e^pr)=0 Longrightarrow x - e^p = 0 Longrightarrow e^p = x Longrightarrow p = ln x
Substituindo p=ln x em y = x,p - e^p
y = xln x - e^ln x = xln x - x

Passo 4

Concluímos que a equação de Clairaut fornecida possui:
– solução geral de primeira ordem: y = Cx - e^C;\n
– solução singular (envelope): y = xln x - x, válida para x>0.

Resposta

Solução geral: y = Cx - e^C.\n
Solução singular: y = xln x - x.

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