Mostre que a função f(x, y)=x y^2x^2-y^2 não tem limite quando (x, y) (0,0).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a função f(x,y)=xy^2x^2-y^2 não possui limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar o critério de caminhos, ou seja, mostrar que aproximando pelo menos dois caminhos diferentes o valor de f tende a números distintos.

Passo 2

Teste pelo caminho y=0: substituindo em f temos
f(x,0)=xcdot0^2x^2-0^2=0
Logo o limite ao longo de y=0 é 0.

Passo 3

Teste por um caminho que não seja reta passando pela origem: escolha x=y+y^2. Parametrizando por yto0,
f(y+y^2,y)=(y+y^2)y^2(y+y^2)^2-y^2=y^3+y^4y^2+2y^3+y^4-y^2=y^3+y^42y^3+y^4=y^3(1+y)y^3(2+y)=1+y2+y
Tomando yto0 obtemos 1+02+0=tfrac12.

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de x=y+y^2 o limite é tfrac12, os valores diferem, então o limite não existe.

Resposta

Não existe limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0).

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