Considere a EDO x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 :
a) Verifique que y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{5} são soluções da EDO.
b) Verifique que y_{1} e y_{2} são soluções LI da EDO.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Resolva o PVI: x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 y(1)=3, y^{\prime}(1)=4
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x^{2}y''-6x y'+10y=0
e pede quatro coisas:
(a) Verificar que y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{5} são soluções da EDO.
(b) Verificar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (LI).
(c) Encontrar a solução geral da EDO.
(d) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com condições
y(1)=3,\qquad y'(1)=4.
Informações relevantes fornecidas: a própria EDO e as duas funções candidatas y_{1} e y_{2}. Não há outras condições sobre domínio; note que a equação é singular em x=0 (pois o coeficiente de y'' é x^2), então devemos tomar cuidado com x=0. A resolução começa substituindo as funções e calculando derivadas quando necessário.
Passo 2
Verificar que \;y_{1}=x^{2}\; é solução: primeiro calcule as derivadas de y_{1}. Para funções potência a regra é simples: se y=x^{n} então y'=n x^{n-1} e y''=n(n-1) x^{n-2}.
Aplicando isso a y_{1}=x^{2}:
y_{1}'=2x,\qquad y_{1}''=2.
Agora substituímos na EDO. Vamos calcular cada termo:
Explicando o método para encontrar a solução geral (a técnica usada aqui): esta EDO é do tipo “equação de Euler-Cauchy” (coeficientes são potências de x). Para essas equações costuma-se tentar uma solução da forma \;y=x^{r}\; (porque potências de x mantêm a mesma forma após derivação). Substituindo y=x^{r} temos
y' = r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na EDO e fatorando x^{r} (sempre que x\neq 0):
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2} -6x\cdot r x^{r-1} +10 x^{r} = x^{r}\big(r(r-1)-6r+10\big).
Explicando o que fizemos: x^{2}y'' = r(r-1)x^{r} porque x^{2}\cdot x^{r-2}=x^{r}; idem para os outros termos. Para que y=x^{r} seja solução precisamos que o fator entre parênteses seja zero, ou seja temos a “equação característica”
r(r-1)-6r+10=0.
Agora simplificamos:
r^{2}-r-6r+10 = r^{2}-7r+10 = 0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-7r+10=(r-2)(r-5)=0,
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r=2\quad\text{ou}\quad r=5.
Como obtivemos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. (Observação: isso coincide com as duas soluções verificadas nos passos anteriores.)
Passo 5
Verificar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (LI): um teste prático para duas soluções é o Wronskiano. Para duas funções y_{1},y_{2} o Wronskiano é
Como W(x)=3x^{6}\neq 0 para todo x\neq 0, as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Conclusão: y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções (para x\neq 0).]
Passo 6
Resolver o PVI com condições y(1)=3,\; y'(1)=4. Usamos a solução geral encontrada:
Resolvemos o sistema linear (1)-(2). Uma forma simples é eliminar C_{1}:
Multiplique (1) por 2: 2C_{1}+2C_{2}=6. Subtraindo essa equação da (2) obtemos
(Se quiser, pode fatorar \tfrac{1}{3}: y(x)=\frac{1}{3}\big(11x^{2}-2x^{5}\big).)
Resposta
a) y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{5} são soluções da EDO.\n
b) y_{1} e y_{2} são linearmente independentes; W(y_{1},y_{2})(x)=3x^{6}\neq 0 para x\neq 0.\n
c) Solução geral: \;y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5}.\n
d) Solução do PVI: \;y(x)=\dfrac{11}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{5}.