Calcule a derivada direcional da função z=f(x, y), no ponto P0, na direção indicada.
z=x^2-y^2, P0(2,3) na direção tangente à curva 2 x+5 y^2=15, no ponto (0, raiz3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2-y^2 no ponto P0=(2,3), na direção tangente à curva dada por
2x+5y^2=15
no ponto (0,raiz3).
Conteúdo: derivada direcional via gradiente e direção unitária, mais cálculo da direção tangente a uma curva implícita.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x,,-2y)
No ponto P0=(2,3) isso dá
nabla f(2,3)=(2cdot2,,-2cdot3)=(4,,-6)

Passo 3

Para achar a direção tangente à curva F(x,y)=2x+5y^2-15=0 em (0,raiz3), usamos
nabla F(x,y)=(2,;10y),
que em (0,raiz3) vale nabla F=(2,10raiz3).
A tangente é ortogonal a nabla F, então escolhemos um vetor v=(v1,v2) tal que
nabla Fcdot v=2,v1+10raiz3,v2=0
Uma escolha conveniente é
v=(10raiz3,,-2),
pois 2cdot10raiz3+10raiz3cdot(-2)=0.

Passo 4

Normalizamos v para obter o versor u. O comprimento de v é
|v|=raiz(10raiz3)^2+(-2)^2=raiz300+4=raiz304=2raiz76
Logo
u=v|v|=l(10raiz32raiz76,,-22raiz76r) =l(5raiz3raiz76,,-1raiz76r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P0 na direção u é
Duf(P0)=nabla f(2,3)cdot u =(4,,-6)cdotl(5raiz3raiz76,,-1raiz76r) =4cdot5raiz3+(-6)cdot(-1)raiz76 =20raiz3+6raiz76
Podemos simplificar raiz76=2raiz19, obtendo
Duf(P0) =20raiz3+62raiz19 =3+10raiz3raiz19

Resposta

Duf(2,3)=3+10raiz3raiz19

Exercícios relacionados