Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção indicada.
na direção tangente à curva
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
, na direção tangente à curva dada por
no ponto
.
Conteúdo: derivada direcional via gradiente e direção unitária, mais cálculo da direção tangente a uma curva implícita.
Conteúdo: derivada direcional via gradiente e direção unitária, mais cálculo da direção tangente a uma curva implícita.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
isso dá
Passo 3
Para achar a direção tangente à curva
em
, usamos
que em
vale
.
A tangente é ortogonal a , então escolhemos um vetor
tal que
A tangente é ortogonal a
Uma escolha conveniente é
pois
.
Passo 4
Normalizamos
para obter o versor
. O comprimento de
é
Logo
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção
é
Podemos simplificar
, obtendo