Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=2+\sqrt{y-2 x+3})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=2+raiz,y-2x+3,
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é reconhecer uma expressão do tipo y-2x+3 dentro de uma raiz e transformá-la numa variável auxiliar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = y - 2x + 3
Como y = u + 2x - 3, temos
dydx = dudx + 2

Passo 3

Substituindo na equação original,
dydx=2+raizu Longrightarrow dudx+2 = 2 + raizu Longrightarrow dudx = raizu
Agora é uma equação separável em u e x.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral duraizu = integral dx Longrightarrow 2raizu = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, raizu = tfracx+C2 e
u = (x+C)^24
Como u = y - 2x + 3, temos
y - 2x + 3 = (x+C)^24 Longrightarrow y = (x+C)^24 + 2x - 3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = (x+C)^24 + 2x - 3,
onde C é constante arbitrária.

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