Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(x+y))

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = sinl(x+yr)
usando uma substituição apropriada. Este é um caso clássico de equação em que o argumento de seno é x+y, então vamos definir uma nova variável ,u=x+y, o que transformará o problema em uma equação separável.

Passo 2

Definindo
u = x + y,
temos
dudx = ddx(x+y) = 1 + dydx
Como dydx=sin(u), fica
dudx = 1 + sin(u)

Passo 3

Reescrevendo a equação para separar variáveis,
Agora já está no formato )},du = \int!dx).

Passo 4

Para calcular
integral du1+sin(u),
multiplicamos numerador e denominador por 1-sin(u), pois 1-sin^2(u)=cos^2(u). Assim,
11+sin(u) =1-sin(u)(1+sin(u))(1-sin(u)) =1-sin(u)cos^2(u) =1cos^2(u)-sin(u)cos^2(u) =sec^2(u)-sec(u)tan(u)
Logo,
integral du1+sin(u) =integrall(sec^2(u)-sec(u)tan(u)r),du =tan(u)-sec(u)+C

Passo 5

Igualando à integral de dx,
tan(u)-sec(u)=x + C
Voltando à variável original u=x+y, obtemos a solução geral implícita:
tanl(x+yr);-;secl(x+yr);=;x + C

Resposta

tan(x+y)-sec(x+y)=x + C

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