Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}^{2}(x+y))
(\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}^{2}(x+y))
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para resolver por meio de uma substituição apropriada. Aqui reconhecemos que o argumento de
é
, então vamos usar a substituição
Isso nos leva a uma equação em
que será mais fácil de tratar.
Passo 2
Com
, aplicamos a regra da cadeia para achar
:
Como
, temos
Mas
, logo
Passo 3
Agora separamos variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Usamos a identidade
Logo,
No lado direito fica
Juntando constantes (
), obtemos
Passo 5
Voltando a
, a solução geral fica dada implicitamente por
Podemos também rearranjar em forma equivalente, por exemplo:
Resposta
ou de forma equivalente
que é a solução geral da equação diferencial dada.