Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}^{2}(x+y))

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = tan^2(x+y)
e pede para resolver por meio de uma substituição apropriada. Aqui reconhecemos que o argumento de tan^2 é x+y, então vamos usar a substituição
u = x + y
Isso nos leva a uma equação em u que será mais fácil de tratar.

Passo 2

Com u = x + y, aplicamos a regra da cadeia para achar du/dx:
dudx = ddx(x+y) = 1 + dydx
Como dydx=tan^2(u), temos
dudx = 1 + tan^2(u)
Mas 1+tan^2(u)=sec^2(u), logo
dudx = sec^2(u)

Passo 3

Agora separamos variáveis:
dusec^2(u) = dx Longrightarrow cos^2(u),du = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. Usamos a identidade
cos^2(u) = 1+cos(2u)2
Logo,
integral cos^2(u),du = integral 1+cos(2u)2,du = 12integral du + 12integral cos(2u),du = u2 + sin(2u)4 + C
No lado direito fica
integral dx = x + C1
Juntando constantes ( C1-Cmapsto C), obtemos
u2 + sin(2u)4 = x + C

Passo 5

Voltando a u = x+y, a solução geral fica dada implicitamente por
x+y2 + sinl(2(x+y)r)4 = x + C
Podemos também rearranjar em forma equivalente, por exemplo:
y - x2 + sinl(2(x+y)r)4 = C

Resposta

x+y2 + sinl(2(x+y)r)4 = x + C,
ou de forma equivalente
y - x2 + sinl(2(x+y)r)4 = C,
que é a solução geral da equação diferencial dada.

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