Encontre a derivada direcional no ponto P_{0} na direção do vetor u, nos seguintes casos.
f(x, y)=3 x^{2} y+x y \quad P_{0}=(1,2), \quad u=(3,-4).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f no ponto P_{0} na direção do vetor u.
Dados fornecidos:
  • f(x,y)=3x^{2}y+xy.
  • P_{0}=(1,2).
  • u=(3,-4).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calcular:
  • A derivada direcional de f num ponto P_{0} na direção de um vetor unitário \hat{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P_{0} com velocidade unitária naquela direção.
  • A fórmula prática (quando f é diferenciável) é
D_{\hat{u}}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot \hat{u},
onde \nabla f(P_{0}) é o gradiente de f em P_{0} e `` \cdot’’ é o produto escalar.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_{x}(x,y),\,f_{y}(x,y)\bigr),
onde f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x e f_{y} em relação a y.
  • Importante: o vetor de direção deve ser unitário. Se o vetor dado é u, primeiro calculamos \hat{u}=u/\|u\|, com \|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou usar regra do produto quando necessário.
Escrevendo f(x,y)=y(3x^{2}+x) ajuda a ver os termos.
Derivada parcial em relação a x:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\bigr).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)=6xy, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\bigr)=y.
Portanto
f_{x}(x,y)=6xy+y = y(6x+1).
Derivada parcial em relação a y:
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr)=x.
Portanto
f_{y}(x,y)=3x^{2}+x.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais em P_{0}=(1,2).
Calcule f_{x}(1,2):
f_{x}(1,2)=y(6x+1)\big|_{(1,2)} = 2(6\cdot 1+1)=2(6+1)=2\cdot 7=14.
Calcule f_{y}(1,2):
f_{y}(1,2)=3x^{2}+x\big|_{(1,2)}=3\cdot 1^{2}+1=3+1=4.
Assim o gradiente em P_{0} é
\nabla f(1,2)=\bigl(14,\,4\bigr).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção u=(3,-4).
Norma de u:
\|u\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Vetor unitário na direção de u:
\hat{u}=\frac{1}{5}(3,-4)=\bigl(\tfrac{3}{5},\, -\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{\hat{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \hat{u} = (14,4)\cdot\bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\bigr).
Compute o produto escalar:
D_{\hat{u}}f(1,2)=14\cdot\tfrac{3}{5}+4\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =\tfrac{42}{5}-\tfrac{16}{5}=\tfrac{26}{5}.
Interpretação rápida: \tfrac{26}{5} é a taxa de variação instantânea de f em P_{0} por unidade de comprimento ao mover-se na direção do vetor u.

Resposta

\dfrac{26}{5}

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