1. Seja V=V(P, T). Se P(V-b) e^{R V}=R T, com b e R constantes, calcule \frac{\partial V}{\partial T}

Passo 1

O enunciado dá explicitamente a relação entre P, V e T:
P(V-b)e^{R V}=R T,
onde b e R são constantes. A função incógnita é V=V(P,T) (ou seja, V depende de P e T).
A pergunta do exercício é: calcular a derivada parcial \dfrac{\partial V}{\partial T}, ou seja, a variação de V em relação a T mantendo P constante.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação implícita que relaciona P, V e T é P(V-b)e^{R V}=R T.
  • b e R são constantes.
  • Queremos \dfrac{\partial V}{\partial T} com P mantido constante.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem assumir conhecimento prévio): como a relação entre V, P e T é dada de forma implícita, a forma natural de obter \dfrac{\partial V}{\partial T} é diferenciar implicitamente essa equação em relação a T, tratando P como constante. Ao diferenciar, devemos lembrar que V depende de T, então quando aparecer V multiplicando algo ou dentro de uma função (como e^{R V}), usamos a regra do produto e a regra da cadeia, e cada vez que derivamos V em relação a T aparece um fator \dfrac{\partial V}{\partial T}.
Para organizar a diferenciação, defino a função
F(V,P,T)=P(V-b)e^{R V}-R T,
que satisfaz F(V,P,T)=0. Diferenciando implicitamente em relação a T com P constante, vale a identidade (regra da diferenciação implícita):
\frac{\partial F}{\partial T} + \frac{\partial F}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T}=0.
Dessa identidade isolamos \dfrac{\partial V}{\partial T}:
\frac{\partial V}{\partial T}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial T}}{\dfrac{\partial F}{\partial V}}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial F}{\partial T}. Na expressão F(V,P,T)=P(V-b)e^{R V}-R T, a única dependência explícita em T está no termo -R T. Assim
\frac{\partial F}{\partial T}=-R.
(Expliquei: a derivada de -R T em relação a T é -R; P, V e b são tratados como constantes nesse parcial.)

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial F}{\partial V}. Temos a parcela P(V-b)e^{R V} que depende de V. Use a regra do produto: se g(V)=(V-b) e h(V)=e^{R V}, então \dfrac{d}{dV}[g(V)h(V)]=g'(V)h(V)+g(V)h'(V).
  • g'(V)=1.
  • h'(V)=R e^{R V} (regra da cadeia: derivada de e^{R V} em relação a V é e^{R V} vezes R).
Portanto
\frac{d}{dV}\big[(V-b)e^{R V}\big]=1\cdot e^{R V}+(V-b)\cdot R e^{R V}=e^{R V}\big(1+R(V-b)\big).
Multiplicando pelo fator P que estava fora, obtemos
\frac{\partial F}{\partial V}=P e^{R V}\big(1+R(V-b)\big).

Passo 5

Agora substituímos \dfrac{\partial F}{\partial T} e \dfrac{\partial F}{\partial V} na fórmula da diferenciação implícita:
\frac{\partial V}{\partial T}=-\frac{-R}{P e^{R V}\big(1+R(V-b)\big)} =\frac{R}{P e^{R V}\big(1+R(V-b)\big)}.
Essa é uma expressão correta e já é a derivada parcial procurada, escrita em termos de P, V, R e b.

Passo 6

Podemos apresentar uma forma alternativa, eliminando P e^{R V} usando a equação original para obter uma expressão que contenha apenas V, T, R e b. Da equação dada:
P(V-b)e^{R V}=R T \quad\Rightarrow\quad P e^{R V}=\frac{R T}{V-b}.
Substituindo na expressão obtida em Passo 5:
\frac{\partial V}{\partial T} =\frac{R}{\left(\dfrac{R T}{V-b}\right)\big(1+R(V-b)\big)} =\frac{V-b}{T\big(1+R(V-b)\big)}.
Essa forma é mais simples porque não envolve P; está expressa em termos de V e T (além das constantes R e b).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{P e^{R V}\big(1+R(V-b)\big)}
\displaystyle \text{equivalentemente: }\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{V-b}{T\big(1+R(V-b)\big)}

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