- Seja
. Se
, com
e
constantes, calcule
Passo 1
O enunciado dá explicitamente a relação entre
,
e
:
onde
e
são constantes. A função incógnita é
(ou seja,
depende de
e
).
A pergunta do exercício é: calcular a derivada parcial , ou seja, a variação de
em relação a
mantendo
constante.
A pergunta do exercício é: calcular a derivada parcial
Informações relevantes fornecidas:
- A equação implícita que relaciona
, e é . -
e são constantes. - Queremos
com mantido constante.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem assumir conhecimento prévio): como a relação entre
,
e
é dada de forma implícita, a forma natural de obter
é diferenciar implicitamente essa equação em relação a
, tratando
como constante. Ao diferenciar, devemos lembrar que
depende de
, então quando aparecer
multiplicando algo ou dentro de uma função (como
), usamos a regra do produto e a regra da cadeia, e cada vez que derivamos
em relação a
aparece um fator
.
Para organizar a diferenciação, defino a função
que satisfaz
. Diferenciando implicitamente em relação a
com
constante, vale a identidade (regra da diferenciação implícita):
Dessa identidade isolamos
:
Passo 3
Calcular
. Na expressão
, a única dependência explícita em
está no termo
. Assim
(Expliquei: a derivada de
em relação a
é
;
,
e
são tratados como constantes nesse parcial.)
Passo 4
Calcular
. Temos a parcela
que depende de
. Use a regra do produto: se
e
, então
.
-
. -
(regra da cadeia: derivada de em relação a é vezes ).
Portanto
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
Passo 5
Agora substituímos
e
na fórmula da diferenciação implícita:
Essa é uma expressão correta e já é a derivada parcial procurada, escrita em termos de
,
,
e
.
Passo 6
Podemos apresentar uma forma alternativa, eliminando
usando a equação original para obter uma expressão que contenha apenas
,
,
e
. Da equação dada:
Substituindo na expressão obtida em Passo 5:
Essa forma é mais simples porque não envolve
; está expressa em termos de
e
(além das constantes
e
).