Uma função
é chamada de função harmônica em um domínio
se ela satisfaz a equação de Laplace:
onde
é chamado de operador Laplaciano. Note que, para que uma função seja harmônica, é necessário que existam as derivadas parciais de segunda ordem. No caso de funções analíticas, as derivadas de segunda ordem sempre existem, pois mostraremos, quando estudarmos integração complexa que as funções analíticas são infinitamente diferenciáveis! Agora vamos descrever alguns fatos importantes sobre as funções harmônicas:
- Uma função
é chamada de função harmônica conjugada a uma função harmônica
se as duas funções formam uma função analítica
, onde
é a unidade imaginária.
- Demonstre a seguinte proposição: Sejam
e
são funções harmônicas conjugadas em uma região
. Suponha que as equações
são curvas de nível suaves. Então estas curvas devem se intersectar ortogonalmente, isto é
, onde
são os vetores gradientes na interseção das curvas e
é o produto interno desses vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, se
e
são funções harmônicas conjugadas em uma região
, e as curvas de nível
e
são suaves, então essas curvas se cruzam de forma ortogonal. Ou seja, os gradientes de
e
no ponto de interseção são perpendiculares, fazendo com que o produto interno deles seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções harmônicas, funções conjugadas e como os gradientes se comportam nas curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função harmônica. Uma função
é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
Isso significa que as derivadas parciais de segunda ordem existem e somam-se a zero.
Passo 3
Agora, uma função
é chamada de função harmônica conjugada de
se
é uma função analítica, onde
é a unidade imaginária. Funções analíticas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são:
Essas equações são fundamentais para relacionar as derivadas de
e
.
Passo 4
Vamos considerar as curvas de nível
e
. O gradiente de uma função, como
, é perpendicular às curvas de nível dessa função. Assim,
é perpendicular a
e
é perpendicular a
.
Passo 5
Nosso objetivo é mostrar que
, ou seja, que os gradientes são perpendiculares. Vamos calcular o produto interno dos gradientes usando as equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, denotemos:
Passo 6
Calculando o produto interno:
Agora, substituímos as derivadas usando as equações de Cauchy-Riemann:
Então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Portanto, o produto interno é zero, o que significa que os gradientes são perpendiculares.
Resposta
Assim, mostramos que as curvas de nível de
e
se intersectam ortogonalmente, ou seja,
.