Uma função u: A subset R^2 R é chamada de função harmônica em um domínio A se ela satisfaz a equação de Laplace:
De
onde De é chamado de operador Laplaciano. Note que, para que uma função seja harmônica, é necessário que existam as derivadas parciais de segunda ordem. No caso de funções analíticas, as derivadas de segunda ordem sempre existem, pois mostraremos, quando estudarmos integração complexa que as funções analíticas são infinitamente diferenciáveis! Agora vamos descrever alguns fatos importantes sobre as funções harmônicas:
  • Uma função v: A R é chamada de função harmônica conjugada a uma função harmônica u se as duas funções formam uma função analítica f=u+i v, onde i é a unidade imaginária.
  • Demonstre a seguinte proposição: Sejam u e v são funções harmônicas conjugadas em uma região A. Suponha que as equações
u(x, y)=c1= constante , v(x, y)=c2= constante
são curvas de nível suaves. Então estas curvas devem se intersectar ortogonalmente, isto é lang<=nabla u, nabla vrang<==0, onde nabla u, nabla v são os vetores gradientes na interseção das curvas e lang<=nabla u, nabla vrang<= é o produto interno desses vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, se e são funções harmônicas conjugadas em uma região , e as curvas de nível e são suaves, então essas curvas se cruzam de forma ortogonal. Ou seja, os gradientes de e no ponto de interseção são perpendiculares, fazendo com que o produto interno deles seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções harmônicas, funções conjugadas e como os gradientes se comportam nas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função harmônica. Uma função De é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
Isso significa que as derivadas parciais de segunda ordem existem e somam-se a zero.

Passo 3

Agora, uma função partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x é chamada de função harmônica conjugada de se é uma função analítica, onde é a unidade imaginária. Funções analíticas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são:
Essas equações são fundamentais para relacionar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos considerar as curvas de nível e . O gradiente de uma função, como , é perpendicular às curvas de nível dessa função. Assim, é perpendicular a e é perpendicular a .

Passo 5

Nosso objetivo é mostrar que nabla u = ( partial upartial x, partial upartial y ) , ou seja, que os gradientes são perpendiculares. Vamos calcular o produto interno dos gradientes usando as equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, denotemos:
nabla v = ( partial vpartial x, partial vpartial y )

Passo 6

Calculando o produto interno:
lang<= nabla u, nabla v rang<= = partial upartial x cdot partial vpartial x + partial upartial y cdot partial vpartial y
Agora, substituímos as derivadas usando as equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Então:
lang<= nabla u, nabla v rang<= = partial vpartial y cdot partial vpartial x + ( -partial vpartial x ) cdot partial vpartial y

Passo 7

Simplificando a expressão:
lang<= nabla u, nabla v rang<= = partial vpartial y cdot partial vpartial x - partial vpartial x cdot partial vpartial y = 0
Portanto, o produto interno é zero, o que significa que os gradientes são perpendiculares.

Resposta

Assim, mostramos que as curvas de nível de e se intersectam ortogonalmente, ou seja, .

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