Calcule a derivada direcional no ponto
e a direção
indicada.
1.
1.
Passo 1
O que o exercício pede e o que é dado:
- Pede-se a derivada direcional de
no ponto na direção dada por . - Função dada:
. - Ponto:
. - Vetor direção (não necessariamente unitário):
.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calcular:
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é a taxa de variação de quando nos movemos em direção a a partir de . - Fórmula prática que vamos usar:
onde
é o gradiente de
em
e
é o vetor direção normalizado (unitário).
- Assim precisamos de dois passos: (i) calcular
e avaliá-lo em ; (ii) normalizar para obter e fazer o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (gradiente):
- Usando regra da cadeia: a derivada de
em relação a é vezes a derivada de , que é . Então
- A derivada de
em relação a é vezes . Então
- Logo o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
:
- Primeiro calcule
. - Depois calcule
. - Substituindo:
- Portanto
Passo 5
Normalizar o vetor direção
:
- Primeiro o comprimento (norma) de
é
- Calcule a soma com denominador comum
:
- Assim
- O vetor unitário na direção de
é
- Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar:
- Usando
e ,
- Interpretação curta: o valor é positivo, então, ao mover-se a partir de
na direção dada por (no sentido do vetor unitário ), a função aumenta com taxa por unidade de deslocamento nessa direção. Força — tá indo bem!