Calcule a derivada direcional no ponto P e a direção \vec{u} indicada.
1.
f(x, y)=\sin (\pi x)+\cos (\pi y)
P=(-2,3), \quad \vec{u}=\left(\frac{1}{3},-\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O que o exercício pede e o que é dado:
  • Pede-se a derivada direcional de f no ponto P na direção dada por \vec{u}.
  • Função dada: f(x,y)=\sin(\pi x)+\cos(\pi y).
  • Ponto: P=(-2,3).
  • Vetor direção (não necessariamente unitário): \vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{2}\right).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calcular:
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \hat{\vec{u}} é a taxa de variação de f quando nos movemos em direção a \hat{\vec{u}} a partir de P.
  • Fórmula prática que vamos usar:
D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{\vec{u}},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \hat{\vec{u}} é o vetor direção normalizado (unitário).
  • Assim precisamos de dois passos: (i) calcular \nabla f(x,y) e avaliá-lo em P; (ii) normalizar \vec{u} para obter \hat{\vec{u}} e fazer o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (gradiente):
  • Usando regra da cadeia: a derivada de \sin(\pi x) em relação a x é \cos(\pi x) vezes a derivada de \pi x, que é \pi. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\pi\cos(\pi x).
  • A derivada de \cos(\pi y) em relação a y é -\sin(\pi y) vezes \pi. Então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\pi\sin(\pi y).
  • Logo o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\big(\pi\cos(\pi x),\; -\pi\sin(\pi y)\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(-2,3):
  • Primeiro calcule \cos(\pi\cdot(-2))=\cos(-2\pi)=\cos(2\pi)=1.
  • Depois calcule \sin(\pi\cdot 3)=\sin(3\pi)=0.
  • Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=\pi\cdot 1=\pi,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(P)=-\pi\cdot 0=0.
  • Portanto
\nabla f(P)=\big(\pi,\,0\big).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{u}:
  • Primeiro o comprimento (norma) de \vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{2}\right) é
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{9}{4}}.
  • Calcule a soma com denominador comum 36:
\dfrac{1}{9}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{4}{36}+\dfrac{81}{36}=\dfrac{85}{36}.
  • Assim
\|\vec{u}\|=\sqrt{\dfrac{85}{36}}=\dfrac{\sqrt{85}}{6}.
  • O vetor unitário na direção de \vec{u} é
\hat{\vec{u}}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} =\left(\dfrac{1/3}{\sqrt{85}/6},\;\dfrac{-3/2}{\sqrt{85}/6}\right) =\left(\dfrac{6}{\sqrt{85}}\cdot\dfrac{1}{3},\;\dfrac{6}{\sqrt{85}}\cdot\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)\right).
  • Simplificando os coeficientes:
\hat{\vec{u}}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{85}},\; -\dfrac{9}{\sqrt{85}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar:
  • Usando \nabla f(P)=(\pi,0) e \hat{\vec{u}}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{85}},-\dfrac{9}{\sqrt{85}}\right),
D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{\vec{u}} =\pi\cdot\dfrac{2}{\sqrt{85}}+0\cdot\Big(-\dfrac{9}{\sqrt{85}}\Big) =\dfrac{2\pi}{\sqrt{85}}.
  • Interpretação curta: o valor é positivo, então, ao mover-se a partir de P na direção dada por \vec{u} (no sentido do vetor unitário \hat{\vec{u}}), a função f aumenta com taxa \dfrac{2\pi}{\sqrt{85}} por unidade de deslocamento nessa direção. Força — tá indo bem!

Resposta

\displaystyle D_{\vec{u}}f(P)=\dfrac{2\pi}{\sqrt{85}}
\displaystyle \hat{\vec{u}}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{85}},-\dfrac{9}{\sqrt{85}}\right)

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