Calcule a derivada direcional no ponto P e a direção \vec{u} indicada.
2. f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{4} y}{x^{8}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. possui derivada direcional em qualquer direção?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{4}y}{x^{8}+y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f possui derivada direcional em qualquer direção no ponto (0,0).
As informações relevantes que temos são:
  • Valor em P=(0,0): f(0,0)=0.
  • Queremos a derivada direcional de f em (0,0) ao longo de uma direção arbitrária \vec{u} (normalmente um vetor unitário). A definição da derivada direcional será usada diretamente.]

Passo 2

Definição (explicando como usar na prova): a derivada direcional de f no ponto P=(0,0) na direção do vetor unitário \vec{u} é
D_{\vec{u}}f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(0+ t\vec{u})-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\vec{u})}{t}.
Aqui t é um escalar que tende a 0 (o limite deve ser o mesmo por t\to0^+ e t\to0^- para existir a derivada direcional). Vou tomar \vec{u} como vetor unitário para simplificar a escrita; se for outro vetor basta normalizar.

Passo 3

Parametrização da direção: escrevo \vec{u} por ângulo ou por componentes. Escolho a forma por ângulo porque fica mais clara:
\vec{u}=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \theta\in[0,2\pi).
Então, para t\in\mathbb{R} pequeno temos x=t\cos\theta e y=t\sin\theta. Vou substituir essas expressões em f(x,y).

Passo 4

Substituição e simplificação passo a passo (sem pular contas):
  • Numerador:
x^4 y = (t\cos\theta)^4\,(t\sin\theta)=t^5\cos^4\theta\sin\theta.
  • Denominador:
x^8+y^4=(t\cos\theta)^8+(t\sin\theta)^4=t^8\cos^8\theta+t^4\sin^4\theta = t^4\big(t^4\cos^8\theta+\sin^4\theta\big).
  • Portanto, para t\neq0,
f(t\vec{u})=\frac{t^5\cos^4\theta\sin\theta}{t^4\big(t^4\cos^8\theta+\sin^4\theta\big)} = t\cdot\frac{\cos^4\theta\sin\theta}{t^4\cos^8\theta+\sin^4\theta}.
  • Dividindo por t para formar a diferença quociente da derivada direcional,
\frac{f(t\vec{u})}{t}=\frac{\cos^4\theta\sin\theta}{t^4\cos^8\theta+\sin^4\theta}.

Passo 5

Cálculo do limite t\to0. Analisar separadamente os casos que aparecem naturalmente:
Caso A: \sin\theta\neq0 (direção com componente y não nula).
Quando t\to0 temos t^4\cos^8\theta\to0, logo o denominador tende para \sin^4\theta\neq0. Assim o limite é
\lim_{t\to0}\frac{f(t\vec{u})}{t} =\frac{\cos^4\theta\sin\theta}{\sin^4\theta} =\frac{\cos^4\theta}{\sin^3\theta}.
Portanto, para qualquer direção com \sin\theta\neq0 a derivada direcional existe e vale \dfrac{\cos^4\theta}{\sin^3\theta}.
Caso B: \sin\theta=0 (direção ao longo do eixo x; isto é \theta=0 ou \theta=\pi).
Nesse caso y=t\sin\theta=0 para todo t, então para t\neq0 temos f(t\vec{u})=0 (pois o numerador x^4 y é zero). Assim
\frac{f(t\vec{u})}{t}=0\quad\text{para todo }t\neq0,
e o limite quando t\to0 é 0. Logo a derivada direcional existe e vale 0 nessas direções.

Passo 6

Reescrever o resultado em termos das componentes do vetor direção. Se \vec{u}=(a,b)\) com \(a^2+b^2=1\) (vetor unitário), então \(\cos\theta=a\) e \(\sin\theta=b\). Assim \[D_{\vec{u}}f(0,0)=\begin{cases} \dfrac{a^4}{b^3}, & b\neq0,\\[6pt] 0, & b=0. \end{cases}
É a mesma expressão anterior, só escrita por a,b\]. Note que se \(b<0 o valor pode ser negativo (porque aparece b^3 no denominador).]

Passo 7

Comentários finais e interpretação didática (o que isso significa na prova):
  • Conclusão direta: a derivada direcional existe em qualquer direção em (0,0). Para direções com componente y não nula o valor é \dfrac{\cos^4\theta}{\sin^3\theta}; para a direção do eixo x o valor é 0.
  • Observação útil para a prova: embora existam todas as derivadas direcionais, f não é diferenciável em (0,0). Razão curta: se fosse diferenciável, o mapeamento \vec{u}\mapsto D_{\vec{u}}f(0,0) seria linear (seria dado por \nabla f(0,0)\cdot\vec{u}). Aqui as derivadas parciais (direcionais em (1,0) e (0,1)) valem 0, portanto a aplicação linear candidata seria o zero; mas por exemplo para \vec{u}=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) obtemos
D_{\vec{u}}f(0,0)=\frac{(1/\sqrt{2})^4}{(1/\sqrt{2})^3}=\frac{1/4}{1/(2\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq0,
logo a dependência de \vec{u} não é linear e f não tem diferencial total em (0,0). Isso é um truque clássico na prova: ter todas as derivadas direcionais mas falhar na diferenciabilidade total.

Resposta

Sim. Para \vec{u}=(\cos\theta,\sin\theta)\): \[D_{\vec{u}}f(0,0)=\begin{cases} \dfrac{\cos^4\theta}{\sin^3\theta}, & \sin\theta\neq0,\\[6pt] 0, & \sin\theta=0. \end{cases}
Equivalente, para \vec{u}=(a,b)\] com \(a^2+b^2=1:
D_{\vec{u}}f(0,0)=\begin{cases} \dfrac{a^4}{b^3}, & b\neq0,\\[6pt] 0, & b=0. \end{cases}]

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