Calcule a derivada direcional no ponto P e a direção \vec{u} indicada.
1.
f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y}}\,, P=(1,0), \quad \vec{u}=(1,5)

Passo 1

O enunciado dá a função f, o ponto P e a direção \vec{u}, e pede a derivada direcional de f em P na direção \vec{u}. Dados extraídos do enunciado:
  • f(x,y)=\dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}-y}}.
  • P=(1,0).
  • \vec{u}=(1,5).
Observação sobre domínio (informação relevante): a função usa \sqrt{x^{2}-y}, portanto só está definida quando x^{2}-y>0. No ponto P tem-se 1^{2}-0=1>0, logo f está bem definida e diferenciável em P.

Passo 2

Definição e método (explicação didática do que vamos usar).
A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{u} é
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{\vec{u}},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P (vetor das derivadas parciais) e \hat{\vec{u}} é o vetor unitário na direção \vec{u}. Explicando as peças:
  • \nabla f(P)=\bigl(f_x(P),\,f_y(P)\bigr), onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y em relação a y.
  • O vetor unitário \hat{\vec{u}} é dado por \hat{\vec{u}}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, com \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.
    Logo o plano de ação: (i) obter \hat{\vec{u}}; (ii) calcular f_x e f_y simbolicamente; (iii) avaliar em P e fazer o produto escalar.

Passo 3

Calcular o vetor unitário \hat{\vec{u}}.
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}.
\hat{\vec{u}}=\frac{1}{\sqrt{26}}(1,5)=\left(\frac{1}{\sqrt{26}},\,\frac{5}{\sqrt{26}}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais f_x e f_y (passo a passo, usando regra do produto e cadeia).
Escrevendo f(x,y)=x y\,(x^{2}-y)^{-1/2}.
Derivada parcial em relação a x: usar produto entre x y e (x^{2}-y)^{-1/2}.
f_x=y\,(x^{2}-y)^{-1/2}+x y\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}-y)^{-3/2}\cdot(2x).
Simplificando o segundo termo: \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(2x)=-x, então
f_x=y\,(x^{2}-y)^{-1/2}-x^{2}y\,(x^{2}-y)^{-3/2}.
Fatorando y\,(x^{2}-y)^{-3/2}:
f_x=y\,(x^{2}-y)^{-3/2}\bigl((x^{2}-y)-x^{2}\bigr)=y\,(x^{2}-y)^{-3/2}(-y)=-\frac{y^{2}}{(x^{2}-y)^{3/2}}.
Derivada parcial em relação a y: similar, produto entre x y e (x^{2}-y)^{-1/2}.
f_y=x\,(x^{2}-y)^{-1/2}+x y\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}-y)^{-3/2}\cdot(-1).
Aqui \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}, então
f_y=x\,(x^{2}-y)^{-1/2}+\tfrac{1}{2}x y\,(x^{2}-y)^{-3/2}.
Fatorando x\,(x^{2}-y)^{-3/2}:
f_y=x\,(x^{2}-y)^{-3/2}\bigl((x^{2}-y)+\tfrac{y}{2}\bigr)=x\,(x^{2}-y)^{-3/2}\left(x^{2}-\tfrac{y}{2}\right).
É conveniente escrever também como
f_y=\frac{x(2x^{2}-y)}{2(x^{2}-y)^{3/2}}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,0).
Para f_x:
f_x(1,0)=-\frac{0^{2}}{(1^{2}-0)^{3/2}}=0.
Para f_y:
f_y(1,0)=\frac{1\cdot(2\cdot1^{2}-0)}{2(1^{2}-0)^{3/2}}=\frac{2}{2}=1.
Portanto
\nabla f(1,0)=(0,1).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar do gradiente com o vetor unitário.
D_{\vec{u}}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot \hat{\vec{u}}=(0,1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{5}{\sqrt{26}}\right)=\frac{5}{\sqrt{26}}.

Resposta

\displaystyle \hat{\vec{u}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{26}},\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)
\displaystyle D_{\vec{u}}f(1,0)=\dfrac{5}{\sqrt{26}}

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