Calcule a derivada direcional no ponto
e a direção
indicada.
1.
,
1.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a direção
, e pede a derivada direcional de
em
na direção
. Dados extraídos do enunciado:
-
. -
. -
.
Observação sobre domínio (informação relevante): a função usa
, portanto só está definida quando
. No ponto
tem-se
, logo
está bem definida e diferenciável em
.
Passo 2
Definição e método (explicação didática do que vamos usar).
A derivada direcional de no ponto
na direção do vetor
é
A derivada direcional de
onde
é o gradiente de
em
(vetor das derivadas parciais) e
é o vetor unitário na direção
. Explicando as peças:
-
, onde é a derivada parcial de em relação a e em relação a . - O vetor unitário
é dado por , com .
Logo o plano de ação: (i) obter; (ii) calcular e simbolicamente; (iii) avaliar em e fazer o produto escalar.
Passo 3
Calcular o vetor unitário
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais
e
(passo a passo, usando regra do produto e cadeia).
Escrevendo .
Escrevendo
Derivada parcial em relação a
: usar produto entre
e
.
Simplificando o segundo termo:
, então
Fatorando
:
Derivada parcial em relação a
: similar, produto entre
e
.
Aqui
, então
Fatorando
:
É conveniente escrever também como
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar do gradiente com o vetor unitário.