Calcule a derivada
utilizando a definição da derivada:
Para cada uma das seguintes funções e pontos:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição da derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar o limite para encontrar essa taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. A definição matemática da derivada é:
Aqui,
é um valor muito pequeno que se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função
no ponto
. Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E
é:
Agora substituímos esses valores na expressão da derivada.
Passo 5
Substituindo na definição da derivada:
Simplificando a fração dividindo cada termo por
:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0.
Passo 6
Quando
se aproxima de 0, o termo
na expressão
também se aproxima de 0. Portanto:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.