Calcule a derivada f^prime(p) utilizando a definição da derivada:
f^prime(p)=lim h 0 f(p+h)-f(p)h
Para cada uma das seguintes funções e pontos:
f(x)=x^2 em p=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = x^2 no ponto p = 2 usando a definição da derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar o limite para encontrar essa taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. A definição matemática da derivada é:
f^prime(p)=lim h 0 f(p+h)-f(p)h
Aqui, h é um valor muito pequeno que se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função f(x) = x^2 no ponto p = 2 . Substituindo na fórmula, temos:
f^prime(2)=lim h 0 f(2+h)-f(2)h
Agora, precisamos calcular f(2+h) e f(2) .

Passo 4

Calculando f(2+h) :
f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2
E f(2) é:
f(2) = 2^2 = 4
Agora substituímos esses valores na expressão da derivada.

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:
f^prime(2) = lim h 0 (4 + 4h + h^2) - 4h = lim h 0 4h + h^2h
Simplificando a fração dividindo cada termo por h :
f^prime(2) = lim h 0 (4 + h)
Agora, vamos calcular o limite quando h tende a 0.

Passo 6

Quando h se aproxima de 0, o termo h na expressão 4 + h também se aproxima de 0. Portanto:
f^prime(2) = 4 + 0 = 4

Resposta

A derivada de f(x) = x^2 no ponto p = 2 é f^prime(2) = 4 .

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