Encontre a transformada de Laplace inversa das funções.
F(s)=3s^3(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=3s^3,(s^2+4)
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e depois aplicar as fórmulas conhecidas de transformada inversa:
- L^-11/s=1
- L^-11/s^3=t^2/2
- L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at).

Passo 2

Começamos escrevendo a fração parcial padrão:
3s^3(s^2+4) =As+Bs^2+Cs^3+D,s+Es^2+4
Multiplicamos ambos os lados por s^3(s^2+4) para achar A,B,C,D,E.

Passo 3

Após multiplicar, temos
3 = A,s^2(s^2+4) + B,s,(s^2+4) + C,(s^2+4) + (D,s+E),s^3
Expandindo e agrupando em potências de s:
3 = (A+D),s^4 + (B+E),s^3 + (4A+C),s^2 + (4B),s + 4C
Igualando coeficientes de cada potência a zero (exceto o termo constante igual a 3), obtemos o sistema
A + D = 0, B + E = 0, 4A + C = 0, 4B = 0, 4C = 3
Daí segue
B=0,;C=tfrac34,;A=-tfrac316,;D=tfrac316,;E=0

Passo 4

Substituindo os coeficientes em F(s), fica
F(s) =-316,1s +34,1s^3 +316,ss^2+4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
- L^-1tfrac1s=1
- L^-1tfrac1s^3=tfract^22
- L^-1tfracss^2+4=cos(2t).
Portanto
f(t) =-tfrac316cdot1 +tfrac34cdott^22 +tfrac316cos(2t) =-tfrac316+tfrac38,t^2+tfrac316cos(2t)

Resposta

f(t)=38,t^2+316cos(2t)-316

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