Calcule a derivada
utilizando a definição da derivada:
Para cada uma das seguintes funções e pontos:
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
e queremos encontrar a derivada dela no ponto
. A matéria que estamos lidando é cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada usando limites. Para resolver isso, vamos aplicar a fórmula da derivada pelo limite.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função
no ponto
:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, precisamos avaliar o limite
. Para entender esse limite, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos) e pela esquerda (valores negativos).
Passo 4
Primeiro, vamos considerar
se aproximando de 0 pela direita, ou seja,
:
Então, o limite pela direita é 1.
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja,
:
Então, o limite pela esquerda é -1.
Passo 6
Como o limite quando
se aproxima de 0 pela direita é 1 e pela esquerda é -1, os dois lados não são iguais.
Passo 7
Quando os limites laterais (pela direita e pela esquerda) não são iguais, a gente diz que o limite não existe. Isso significa que a derivada de
no ponto
não existe.
Resposta
A derivada
não existe.