Calcule a derivada f^prime(p) utilizando a definição da derivada:
f^prime(p)=lim h 0 f(p+h)-f(p)h
Para cada uma das seguintes funções e pontos:
f(x)=|x| em p=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função f(x) = |x| e queremos encontrar a derivada dela no ponto p = 0 . A matéria que estamos lidando é cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada usando limites. Para resolver isso, vamos aplicar a fórmula da derivada pelo limite.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função f no ponto p :
f^prime(p) = limh 0 f(p + h) - f(p)h
No nosso caso, p = 0 e f(x) = |x| . Então, substituindo na fórmula, temos:
f^prime(0) = limh 0 |0 + h| - |0|h = limh 0 |h|h

Passo 3

Agora, precisamos avaliar o limite limh 0 |h|h . Para entender esse limite, vamos analisar o que acontece quando h se aproxima de 0 pela direita (valores positivos) e pela esquerda (valores negativos).

Passo 4

Primeiro, vamos considerar h se aproximando de 0 pela direita, ou seja, h > 0 :
|h|h = hh = 1
Então, o limite pela direita é 1.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando h se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, h < 0 :
|h|h = -hh = -1
Então, o limite pela esquerda é -1.

Passo 6

Como o limite quando h se aproxima de 0 pela direita é 1 e pela esquerda é -1, os dois lados não são iguais.

Passo 7

Quando os limites laterais (pela direita e pela esquerda) não são iguais, a gente diz que o limite não existe. Isso significa que a derivada de f no ponto p = 0 não existe.

Resposta

A derivada f^prime(0) não existe.

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