Encontre a transformada de Laplace inversa das funções.
F(s)=2 s+2s^2+2 s+5

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=2s+2s^2+2s+5
O conteúdo aqui é completar o quadrado no denominador e depois usar as transformadas inversas conhecidas de termos do tipo s+a(s+a)^2+b^2 e b(s+a)^2+b^2.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador e reescrevendo o numerador em função de s+1. Note que
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4
e
2s+2 = 2,(s+1)
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F(s) = 2(s+1)(s+1)^2 + 2^2

Passo 3

Recordando as transformadas diretas:
Le^-atcos(bt) = s+a(s+a)^2 + b^2, Le^-atsin(bt) = b(s+a)^2 + b^2
No nosso caso a=1 e b=2, e temos exatamente o termo s+1(s+1)^2+2^2 multiplicado por 2.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa, obtemos
f(t) = 2,e^-1cdot tcos(2t) = 2e^-tcos(2t), t>=0

Resposta

f(t)=2e^-tcos(2t)

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