Encontre a transformada de Laplace inversa das funções.
F(s)=2 s+1s^2-2 s+2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=2s+1s^2-2s+2
O conteúdo envolvido é a propriedade de descolamento no domínio de s (ou seja, fatores do tipo s-a no denominador) e as transformadas conhecidas
Le^atcos(bt)=s-a(s-a)^2+b^2, Le^atsin(bt)=b(s-a)^2+b^2

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^2-2s+2 = (s^2-2s+1)+1 = (s-1)^2+1

Passo 3

Reescrevemos o numerador 2s+1 em termos de (s-1). Escrevemos
2s+1 = 2(s-1) + underbrace(2+1)3 = 2(s-1) + 3

Passo 4

Splitamos F(s) em duas parcelas que lembram as transformadas de e^tcos t e e^tsin t:
F(s) = 2(s-1)(s-1)^2+1 ;+;3(s-1)^2+1

Passo 5

Usando as fórmulas conhecidas:
  • L^-1!s-1(s-1)^2+1=e^tcos t,
  • L^-1!1(s-1)^2+1=e^tsin t,
temos
L^-1F(s) = 2,e^tcos t ;+;3,e^tsin t

Resposta

f(t) = 2e^tcos t ;+;3e^tsin t

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