Calcule a derivada f'(x) e ache seu valor para o x pedido: f(x)=e^x(x+1)^2 em x=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de uma função que é o produto de duas partes: e . Depois, precisamos achar o valor dessa derivada quando . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto, que é útil quando temos uma função que é o produto de duas funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para aplicar a regra do produto, precisamos saber as derivadas de e :
  • A derivada de é (porque a derivada de é ela mesma).
  • Para derivar , usamos a regra da potência: se , então . Aqui, , então .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar e :

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor da derivada quando . Vamos substituir por 2 na expressão simplificada:

Resposta

A derivada de em é .

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