Calcule a derivada
e ache seu valor para o
pedido:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de uma função que é o produto de duas partes:
e
. Depois, precisamos achar o valor dessa derivada quando
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto, que é útil quando temos uma função que é o produto de duas funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para aplicar a regra do produto, precisamos saber as derivadas de
e
:
- A derivada de
é (porque a derivada de é ela mesma). - Para derivar
, usamos a regra da potência: se , então . Aqui, , então .
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
e
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor da derivada quando
. Vamos substituir
por 2 na expressão simplificada:
Resposta
A derivada de
em
é
.