, sendo A o arco da parábola
, de 0 a
.
Resposta.
Resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
ao longo do arco A, que é a parábola
, indo de 0 até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especialmente integrais de funções de variáveis complexas ao longo de caminhos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o arco A da parábola
. Em termos de números complexos, podemos expressar
. Como
, então
.
Dessa forma,
pode ser parametrizado em função de
, onde
varia de 0 a 1 (já que o ponto final é
).
Passo 3
Com a parametrização, podemos escrever
em termos de
:
Também precisamos do conjugado de
, que é:
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, multiplicamos as duas expressões:
Vamos expandir esse produto:
-
-
-
-
(já que ) -
-
-
-
Somando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Termos reais:
Termos imaginários:
Portanto, a expressão simplificada é:
Passo 6
Agora, integramos cada parte separadamente de 0 a 1:
Parte real:
Parte imaginária:
Resposta
A integral vale
.