integralA(1+i-2 barz) d z, sendo A o arco da parábola y=x^2, de 0 a 1+i.
Resposta. -2+43 i

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de ao longo do arco A, que é a parábola , indo de 0 até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especialmente integrais de funções de variáveis complexas ao longo de caminhos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o arco A da parábola . Em termos de números complexos, podemos expressar . Como , então .
Dessa forma, pode ser parametrizado em função de , onde varia de 0 a 1 (já que o ponto final é ).

Passo 3

Com a parametrização, podemos escrever dz = d zd x dx = (1 + i cdot 2x) dx em termos de z = x - i x^2 :
Também precisamos do conjugado de , que é:

Passo 4

Substituindo integralA (1 + i - 2 z) dz = integral0^1 (1 + i - 2(x - i x^2)) (1 + i cdot 2x) dx e 1 + i - 2x + 2i x^2 na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, multiplicamos as duas expressões:
(1 + i - 2x + 2i x^2)(1 + 2i x)
Vamos expandir esse produto:
  • 1 + 2i x + i - 2x - 2x -4i x^2 + 2i x^2 -4x^3
  • 1 - 4x - 4x^3
  • 2i x + i - 2i x^2
  • 1 - 4x - 4x^3 + i (2x + 1 - 2x^2) (já que )
Somando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Termos reais:
Termos imaginários:
Portanto, a expressão simplificada é:

Passo 6

Agora, integramos cada parte separadamente de 0 a 1:
Parte real:
integral0^1 (1 - 4x - 4x^3) dx = [ x - 2x^2 - x^4 ]0^1 = (1 - 2 - 1) - (0 - 0 - 0) = -2
Parte imaginária:
integral0^1 (2x + 1 - 2x^2) dx = [ x^2 + x - 23x^3 ]0^1 = (1 + 1 - 23) - (0 + 0 - 0) = 2 - 23 = 43

Resposta

A integral vale .

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